如图,△ABC中,AB=5,BC=11,,点P是BC边上的一个动点,联结AP,取AP的中点M,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN,联结AN,NC.(1
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如图,△ABC中,AB=5,BC=11,,点P是BC边上的一个动点,联结AP,取AP的中点M,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN,联结AN,NC.(1
题型:不详
难度:
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如图,△ABC中,AB=5,BC=11,
,点P是BC边上的一个动点,联结AP,取AP的中点M,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN,联结AN,NC.
(1)当点N恰好落在BC边上时,求NC的长;
(2)若点N在△ABC内部(不含边界),设BP=x,CN=y,求y关于x的函数关系式,并求出函数的定义域;
(3)若△PNC是等腰三角形,求BP的长.
答案
(1)NC =6(2)
(3)BP = 7或
或
.
解析
试题分析:(1)根据三角函数定义求出BP,AP即可求出NC;
(2)过A作AD⊥BC于D,过M作ME⊥BC与E,过N作NF⊥BC于F,得到△MEP≌△PFN,利用三角函数定义,平行线的性质,求出ME,表示出EP,再由全等表示出NF,PF,FC,用勾股定理即可表示出NC;
(3)△PNC是等腰三角形,有三种可能:①PN=NC,②PN=PC,③PC=NC,表示出三边,解方程即可.
试题解析:(1)如图,当点N恰好落在BC边上时,AP⊥BC,∵AB=5,
,∴BP=3,AB=4,∵M为AP的中点,∴AM=MP=2,∴PN=MP=2,∴NC=BC-BP-PN=11-3-2=6;
(2)过A作AD⊥BC于D,过M作ME⊥BC与E,过N作NF⊥BC于F,∵AB=5,
,∴BD=3,AD=4,
∵AD⊥BC,ME⊥BC,∴AD∥ME,∵M为AP的中点,BP=x,∴AM=MP,DE=EP,∴ME=
AD=2,EP=
,∵MP⊥NP,∴∠MPE+∠NPF=90°,∵∠MPE+∠PME=90°,∴∠PME=∠NPF,∵∠MEP=∠PFN=90°,MP=NP,∴△MEP≌△PFN,∴PF=ME=2,NF=EP=
,∴FC=BC-AP-PF=
,∴
=NC=
,
当N刚好在AC上时,如图,此时有DC=BC-BD=11-3=8,∵AD=4,∴DC=2AD,∵AD∥NF,∴DC:AD=FC:NF,∵NF=EP=
,FC=
,∴FC=2NF,∴
,解得:
,∴定义域为:
;
(3)
,
,PC=11-
,△PNC是等腰三角形,有三种可能:
①PN=NC,则
,∴
,∴
,∵
,∴
,∴
,∴BP=7;
②PN=PC,则
,∴
,∴
,∴
∵
,∴
,∴BP=
;
③PC=NC,则
,∴
,∴
,∴
∵
,∴
,BP=
.
举一反三
如图,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,补充下列条件后,仍无法判断△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AE
B.∠AEB=∠ADC
C.BE=CD
D.AB=AC
题型:不详
难度:
|
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在直角三角形中,若两条直角边长分别为6cm和8cm,则斜边上的中线长为
cm.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知正方形
,点
是
上的一点,连结
,以
为一边,在
的上方作正方形
,连结
.求证:
.
题型:不详
难度:
|
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如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,
求证:(1)
;(2)
.
题型:不详
难度:
|
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如图,AC∥BD,AD与BC相交于O,∠A=45°,∠B=30°,那么∠AOB等于( )
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
题型:不详
难度:
|
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