如图四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平
题型:不详难度:来源:
如图四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。 (1)如图,当点E在AB边的中点位置时:
①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 ; ②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 ; ③请证明你的上述两猜想; (2)如图,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想并证明此时DE与EF有怎样的数量关系。 |
答案
(1)①DE=EF;②NE=BF;③根据正方形的性质及N,E分别为AD,AB的中点可得DN=EB,再根据角平分线的性质及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°,再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF,即可证得△DNE≌△EBF,从而证得结论;(2)DE=EF |
解析
试题分析:(1)根据正方形的性质及N,E分别为AD,AB的中点可得DN=EB,再根据角平分线的性质及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°,再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF,即可证得△DNE≌△EBF,从而证得结论; (2)在DA边上截取DN=EB,连结NE,点N就使得NE=BF成立,由DN=EB可得AN=AE,根据角平分线的性质可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°,再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF,即可证得△DNE≌△EBF,从而证得结论. (1)①DE=EF; ②NE=BF; ③∵四边形ABCD是正方形,N,E分别为AD,AB的中点, ∴DN=EB ∵BF平分∠CBM,AN=AE, ∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135° ∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°, ∴∠NDE=∠BEF ∴△DNE≌△EBF ∴DE=EF; (2)在DA边上截取DN=EB,连结NE,点N就使得NE=BF成立,此时,DE="EF"
∵DN="EB" ∴DA-DN="AB-BE" 即AN=AE ∵BF平分∠CBM,AN=AE, ∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135° ∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°, ∴∠NDE=∠BEF ∴△DNE≌△EBF ∴ DE=EF,NE=BF. 点评:此类问题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大. |
举一反三
已知:如图,在中,,,是过点的一条直线,于,于,求证: . |
如图,点A所表示的数是( )
A.1.5 | B. | C.2 | D. |
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如图所示,以直角三角形的三边分别向外作正方形,其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400,则正方形的面积是( )
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现有两根木棒的长度分别是4 米和3 米,若要钉成一个直角三角形木架,则第三根木棒的长度为_________米。 |
如图,将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝的装满水的圆柱形水杯中,已知水深为12㎝,设筷子露出水面的长为h㎝,则h的取值范围是________________ |
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