如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点,过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP
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如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点,过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP
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如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点,过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.
(1)①填空:如果BP=
,则BG=
;
②用x的代数式表示线段DG的长,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式。
(3)当以P、E、F为顶点的三角形与△EDG相似时,请求出BP的长。
答案
(1)BG=
;DG=2x-1、
(2)S=
(3)
解析
试题分析:(1)①在边长为2的等边△ABC中,所以
;作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,
,在三角形BPG中,由三角形内角和定理知
,因为BP=
,所以BG=
②∵PF//AC,∴△PBF为等边三角形,∴BF=PF=PB=x.
又∵BG=2x,BD=1,∴DG=2x-1,∴0<2x-1≤1,∴
.
(2)S=
DE×DF=
=
(3)①如图1,若∠PFE=∠EDG=90
,∵∠EGD =∠FPE ∴
∽△EDG,∴∠EFD=∠EGD=30
∴EF=EG
∵AD⊥BC ∴DF=DG 即
解得:
.
②如图2,若∠PEF=∠EDG=90
时,∵∠EGD =∠FPE ∴
∽△DEG
∵∠FED=30
∴DF=
EF=
BP,
即
.解得:
点评:本题考查直角三角形,等边三角形,相似三角形,解答本题需要掌握直角三角形,等边三角形的性质,熟悉相似三角形的证明方法,会证明两个三角形相似
举一反三
相距125千米的两地在地图上的距离为25cm,则该地图的比例尺为
A.1∶5000
B.1∶50000
C.1∶500000
D.1∶5000000
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给出下面四个命题:
(1) 全等三角形是相似三角形 (2) 顶角相等的两个等腰三角形是相似三角形
(3) 所有的等腰直角三角形都相似 (4) 所有定理的逆命题都是真命题
其中真命题的个数有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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在△ABC与△A’B’C’中,有下列条件:
①
;⑵
③∠A=∠
;④∠C=∠
如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A’B’C’的共有( )组。
A.1
B.2
C.3
D.4
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如图,直线l上摆放着两块大小相同的直角三角形△ABC和△ECD,∠ACB=∠DCE=90°,且BC=CE=3,AC=CD=4,将△ECD绕点C逆时针旋转到△E
1
CD
1
位置,且D
1
E
1
∥l ,则B、E
1
两点之间的距离为( )
A.3 B.
C.
D.
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如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC =8
,AD=2
,且∠B=45°,将含45°角的直角三角尺的顶点E放在BC边上滑动,一直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F,若要使△ABE为等腰三角形,则CF的长应等于
.
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