在△ABC中,AD是△ABC的角平分线.(1)如图1,过C作CE∥AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点,连结AF,求证:AF⊥AD;(2)如图2,M为BC的

在△ABC中,AD是△ABC的角平分线.(1)如图1,过C作CE∥AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点,连结AF,求证:AF⊥AD;(2)如图2,M为BC的

题型:不详难度:来源:
在△ABC中,AD是△ABC的角平分线.

(1)如图1,过CCEADBA延长线于点E,若FCE的中点,连结AF,求证:AFAD
(2)如图2,MBC的中点,过MMNADAC于点N,若AB=4, AC=7,
NC的长.
答案
(1)

∵AD为△ABC的角平分线,∴,∵CE∥AD,∴,∴,∴AC=AE,∵F为EC的中点,∴AF⊥BC,∴,∴AF⊥AD。
(2)

CN=5.5
解析

试题分析:(1)由与CE∥AD,可以通过两直线平行性质推出内错角和同位角相等,等量代换得出,又等腰三角形底边的中线与底边上的高是同一条线,所以得出AF⊥BC,由此AF⊥AD。
(2)延长BA与MN延长线于点E,过B作BF∥AC交NM延长线于点F,∴,∵M为BC的中点,∴BM=CM,在△BFM和△CNM中,,∴△BFM≌△CNM,∴BF=CN,∵MN∥AD,∴,∴,∴,设,则,∴4+7-x=x,解得 x=5.5,∴CN=5.5
点评:本题考查的是学生对两平行线与过这两条线的直线相交的性质;等腰三角形的三线合一很重要,通过求出其中任意一个数据,即可知道其他两个的数据;第二问关键在于做辅助线,辅助线在几何题中也是十分常用的一种方法。
举一反三
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线, DEAB于点E

                                       
(1)如图1,连接EC,求证:△EBC是等边三角形;
(2)点M是线段CD上的一点(不与点CD重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MGDE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MDDGAD之间的数量关系;
(3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NGDE延长线于点G,且MB=MG.试探究NDDGAD数量之间的关系,并说明理由.
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如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,则∠AIB和∠AOB的关系为(  )
A.∠AIB=∠AOBB.∠AIB≠∠AOB
C.4∠AIB-∠AOB=360°D.2∠AOB-∠AIB=180°

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等腰三角形的一个角为,则它的底角为(   )
A.B.C.D.

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如图,在中,边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E,的周长为,则的周长是(     )

A.     B.     C.     D. 
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等腰三角形的周长为,其中一边长为,则该等腰三角形的底边为__________
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