如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转, DE,DF分别交线段AC于点M,K.(1)观察

如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转, DE,DF分别交线段AC于点M,K.(1)观察

题型:不详难度:来源:
如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转, DE,DF分别交线段AC于点M,K.

(1)观察: ①如图2、图3,当∠CDF="0°" 或60°时,AM+CK_______MK(填“>”,“<”或“=”).
②如图4,当∠CDF="30°" 时,AM+CK___MK(只填“>”或“<”).
(2)猜想:如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM+CK_______MK,证明你所得到的结论.
(3)如果,请直接写出∠CDF的度数和的值.
答案
(1)①在Rt△ABC中,D是AB的中点,
∴AD=BD=CD=AB,∠B=∠BDC=60°
又∵∠A=30°,
∴∠ACD=60°-30°=30°,
又∵∠CDE=60°,或∠CDF=60°时,
∴∠CKD=90°,
∴在△CDA中,AM(K)=CM(K),即AM(K)=KM(C)(等腰三角形底边上的垂线与中线重合),
∵CK=0,或AM=0,
∴AM+CK=MK;………………………………………2分
②由①,得
∠ACD=30°,∠CDB=60°,
又∵∠A=30°,∠CDF=30,∠EDF=60°,
∴∠ADM=30°,
∴AM=MD,CK=KD,
∴AM+CK=MD+KD,
∴在△MKD中,AM+CK>MK(两边之和大于第三边).………………………………………2分
(2)>    ………………………………………2分
证明:作点C关于FD的对称点G,
连接GK,GM,GD,
则CD=GD,GK=CK,∠GDK=∠CDK,
∵D是AB的中点,∴AD=CD=GD、
∵∠A=30°,∴∠CDA=120°,
∵∠EDF=60°,∴∠GDM+∠GDK=60°,
∠ADM+∠CDK=60°.
∴∠ADM=∠GDM,…………………………………3分
∵DM=DM,
∴AD=DG,∠ADM=∠GDM,DM=DM
∴△ADM≌△GDM,(SAS)
∴GM=AM.
∵GM+GK>MK,∴AM+CK>MK.…………………………………………1分
(3)由(2),得GM=AM,GK=CK,
∵MK2+CK2=AM2
∴MK2+GK2=GM2
∴∠GKM=90°,
又∵点C关于FD的对称点G,
∴∠CKG=90°,∠FKC=∠CKG=45°,
又有(1),得∠A=∠ACD=30°,
∴∠FKC=∠CDF+∠ACD,
∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°,
在Rt△GKM中,∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°,
∴∠GMK=30°,

.…………………………………………2分

解析
(1)先证明△CDA是等腰三角形,再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK;在△MKD中,AM+CK>MK(两边之和大于第三边);
(2)作点C关于FD的对称点G,连接GK,GM,GD.证明△ADM≌△GDM后,根据全等三角形的性质,GM=AM,GM+GK>MK,∴AM+CK>MK;
(3)根据勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°,又∵点C关于FD的对称点G,∴<CKG=90°,<FKC=<CKG=45°,根据三角形的外角定理,就可以求得∠CDF=15°;在Rt△GKM中,∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°,∴∠GMK=30°,利用余弦定理解得
举一反三
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y.

(1)求证:△DHQ∽△ABC;
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;
(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?
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如图,已知DE∥BC,AD=5,DB=3,BC=9.9,∠B=50°,则∠ADE=     °,DE=               
题型:不详难度:| 查看答案
已知,如图,延长的各边,使得,顺次连接,得到为等边三角形.
求证:(1)
(2)为等边三角形.

题型:不详难度:| 查看答案
已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为
A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

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如图,等腰三角形ABC的顶角为1200,腰长为10,则底边上的高AD=        
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