(1)①在Rt△ABC中,D是AB的中点, ∴AD=BD=CD=AB,∠B=∠BDC=60° 又∵∠A=30°, ∴∠ACD=60°-30°=30°, 又∵∠CDE=60°,或∠CDF=60°时, ∴∠CKD=90°, ∴在△CDA中,AM(K)=CM(K),即AM(K)=KM(C)(等腰三角形底边上的垂线与中线重合), ∵CK=0,或AM=0, ∴AM+CK=MK;………………………………………2分 ②由①,得 ∠ACD=30°,∠CDB=60°, 又∵∠A=30°,∠CDF=30,∠EDF=60°, ∴∠ADM=30°, ∴AM=MD,CK=KD, ∴AM+CK=MD+KD, ∴在△MKD中,AM+CK>MK(两边之和大于第三边).………………………………………2分 (2)> ………………………………………2分 证明:作点C关于FD的对称点G, 连接GK,GM,GD, 则CD=GD,GK=CK,∠GDK=∠CDK, ∵D是AB的中点,∴AD=CD=GD、 ∵∠A=30°,∴∠CDA=120°, ∵∠EDF=60°,∴∠GDM+∠GDK=60°, ∠ADM+∠CDK=60°. ∴∠ADM=∠GDM,…………………………………3分 ∵DM=DM, ∴AD=DG,∠ADM=∠GDM,DM=DM ∴△ADM≌△GDM,(SAS) ∴GM=AM. ∵GM+GK>MK,∴AM+CK>MK.…………………………………………1分 (3)由(2),得GM=AM,GK=CK, ∵MK2+CK2=AM2, ∴MK2+GK2=GM2, ∴∠GKM=90°, 又∵点C关于FD的对称点G, ∴∠CKG=90°,∠FKC=∠CKG=45°, 又有(1),得∠A=∠ACD=30°, ∴∠FKC=∠CDF+∠ACD, ∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°, 在Rt△GKM中,∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°, ∴∠GMK=30°, ∴, ∴.…………………………………………2分
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