如图(1),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连结FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N。(1)试说
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如图(1),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连结FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N。(1)试说
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如图(1),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连结FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N。
(1)试说明:FG=
(AB+BC+AC);
(2)①如图(2),BD、CE分别是△ABC的内角平分线;②如图(3),BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线。
则在图(2)、图(3)两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由。
答案
解:(1)∵AF⊥BD ∠ABF=∠MBF ∴∠BAF=∠BMF ∴MB=AB
∴AF=MF 同理可说明:CN=AC,AG=NG
∴ FG是△AMN的中位线
∴ FG=
MN=
(MB+BC+CN)=
(AB+BC+AC)
(2)图(2)中,FG=
(AB+AC-BC)
图(3)中,FG=
(AC+BC-AB)
①如图(2),延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,由(1)中可知,MB="AB" ,AF=MF,CN=AC,AG=NG ∴FG=
MN=
(BM+CN-BC)=
(AB+AC-BC)
②如图(3)延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,同样由(1)中可知,MB="AB" ,AF=MF,CN=AC,AG=NG ∴FG=
MN=
(CN+BC-BM)=
(AC+BC-AB)
解析
(1)由AF⊥BD,∠ABF=∠MBF,得到∠BAF=∠BMF,进一步推出MB=AB,AF=MF,同理CN=AC,AG=NG,即可得出答案;
(2)延长AF、AG,与直线BC相交于M、N,与(1)类似可以证出答案;
(3)与(1)方法类同即可证出答案.
举一反三
在△
中,点
、
分别在边
和
上,且
∥
,如果
,
,那么
:
的值为
.
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已知
是△
的重心,设
,
,那么
=
(用
、
表示).
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已知△
中,
(如图),点
到
两边的距离相等,且
.
(1)先用尺规作出符合要求的点
(保留作图痕迹,不需要写作法),然后判断△
的形状,并说明理由;
(2)设
,
,试用
、
的代数式表示
的周长和面积;
(3)设
与
交于点
,试探索当边
、
的长度变化时,
的值是否发生变化,若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由.
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,则正六边形的边长为
.
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