(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的

(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的

题型:不详难度:来源:
(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边△DCF,连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.
(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与(1)相同,猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?并证明你探究的结论.
Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.
答案
(1)AF=BD,证明见解析(2)AF=BD仍然成立(3)Ⅰ.AF+BF′=AB,证明见解析Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′,证明见解析
解析
解:(1)AF=BD。证明如下:
∵△ABC是等边三角形(已知),∴BC=AC,∠BCA=60°(等边三角形的性质)。
同理知,DC=CF,∠DCF=60°。
∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA,即∠BCD=∠ACF。
在△BCD和△ACF中,∵BC=AC,∠BCD=∠ACF,DC=CF,
∴△BCD≌△ACF(SAS)。∴BD=AF(全等三角形的对应边相等)。
(2)AF=BD仍然成立。
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB。证明如下:
由(1)知,△BCD≌△ACF(SAS),则BD=AF。
同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD。
∴AF+BF′=BD+AD=AB。
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′。证明如下:
在△BCF′和△ACD中,∵BC=AC,∠BC F′=∠ACD,F′C=DC,
∴△BCF′≌△ACD(SAS)。∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等)。
又由(2)知,AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′。
(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF;然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD。
(2)通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD。
(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB。
Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′:通过证明△BCF′≌△ACD(SAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等),再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′
举一反三
如图,将三角尺与直尺贴在一起,使三角尺的直角顶点C(∠ACB=90°)在直尺的一边上,若∠1=60°,则∠2的度数等于【   】
A.75°B.60°C.45°D.30°

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如图,AB∥CD,∠A=48°,∠C=22°.则∠E等于【   】
A.70°B.26°C.36°D.16°

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如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为【   】

A.2      B.3      C.     D.
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如图,已知AE∥BC,AE平分∠DAC.
求证:AB=AC.
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将一副三角尺按如图所示放置,则1=  ▲  度.
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