(1)问题探究如图1,分别以△ABC的边AC与边BC为边,向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2,过点C作直线KH交直线AB于点H,使∠AHK=∠
题型:不详难度:来源:
(1)问题探究 如图1,分别以△ABC的边AC与边BC为边,向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2,过点C 作直线KH交直线AB于点H,使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH,D2N⊥KH,垂足分别为点M,N.试探究线段D1M与线段D2N的数量关系,并加以证明. (2)拓展延伸 ①如图2,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点C作直线K1H1,K2H2,分别交直线AB于点H1,H2,使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1.作D1M⊥K1H1,D2N⊥K2H2,垂足分别为点M,N.D1M=D2N是否仍成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由. ②如图3,若将①中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变.D1M=D2N是否仍成立?(要求:在 图3中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明) |
答案
解:(1)D1M=D2N。证明如下: ∵∠ACD1=90°,∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°。 ∵∠AHK=∠ACD1=90°,∴∠ACH+∠HAC=90°。 ∴∠D1CK=∠HAC。 在△ACH和△CD1M中,∠D1CK=∠HAC,∠AHC="∠C" M D1=90°,AC="C" D1, ∴△ACH≌△CD1M(AAS)。∴D1M=CH。 同理可证D2N=CH。 ∴D1M=D2N。 (2)①D1M=D2N成立。证明如下: 过点C作CG⊥AB,垂足为点G,
∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°, ∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°,∠AH1C=∠ACD1, ∴∠H1AC=∠D1CM。 在△ACG和△CD1M中,∠H1AC=∠D1CM,∠AGC="∠C" M D1=90°,AC="C" D1, ∴△ACG≌△CD1M(AAS)。∴CG=D1M。 同理可证CG=D2N。 ∴D1M=D2N。 ②作图如下:
D1M=D2N还成立。 |
解析
(1)根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°,然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC,再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等,根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH,同理可证D2N=CH,从而得证。 (2)①过点C作CG⊥AB,垂足为点G,根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM,然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M,同理可证CG=D2N,从而得证。 ②结论仍然成立,与①的证明方法相同。 |
举一反三
如图,为测量某物体AB的高度,在在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为【 】
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如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是【 】 |
如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE. (1)线段BH与AC相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由; (2)求证:BG2﹣GE2=EA2. |
如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A.B的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为45°,求岛屿两端A.B的距离(结果精确到0.1米,参考数据:) |
已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是【 】 |
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