操作:如图,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角板的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某一边所在直线
题型:不详难度:来源:
操作:如图,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角板的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E. 探究:①观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似,写出你的结论,(找出两对即可);并选择其中一组说明理由; ②当点P位于CD的中点时,直接写出① 中找到的两对相似三角形的相似比和面积比.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103065228-11100.jpg) |
答案
分两种情况: ①如图(1), ∵∠BPE=90°, ∴∠BPC+∠DPE=90°,又∠BPC+∠PBC=90°, ∴∠PBC=∠DPE,又∠C=∠D=90°, ∴△BPC∽△PED. 如图(2),同理可证△BPC∽△BEP∽△PCE. ②如图(1),∵△BPC∽△PED, ∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比,即PD与BC的比, ∵点P位于CD的中点, ∴PD与BC的比为1:2, ∴△PED与△BPC的周长比1:2, △PED与△BPC的面积比1:4 如图(2),∵△BPC∽△BEP, ∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比,即BP与BC的比, ∵点P位于CD的中点, 设BC=2k,则PC=k,BP= k, ∴BP与BC的比为 :2, △BEP与△BPC的周长比为 :2,△BEP与△BPC的面积比为5:4. 同理:△PCE∽△BPC,周长比1:2,面积比1:4. |
解析
由于本题直角三角形的摆放方法没有确定,因此要分两种情况进行讨论: ①直角三角形的斜边与AD相交;(如图1) ②直角三角形的斜边与BC边在同一条直线上(如图2);解题思路一致. 以①为例说明:△DEP和△BCP中,∠DEP和∠BPC同为∠DPE的余角,因此这两角相等,易证得两三角形相似.当P为CD中点时,PD=CP,可根据相似三角形得出的比例关系式求出DE和BC的表达式,进一步可求得两三角形的相似比和面积比. |
举一反三
如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形: (1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时,CD=BE吗?若相等请证明,若不等于请说明理由; (2)当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时,△AMN还是等边三角形吗?若是请证明,若不是,请说明理由(可用第一问结论).![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103065225-42843.jpg) |
已知△ABC与△DEF相似且面积的比为4:9,则△ABC与△DEF周长的比为______. |
已知:如图,点C是线段AB的中点,CD∥BE,∠D=∠E.求证:CD=BE.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103065219-68059.jpg) |
如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△AOC≌△BOC的是( ).
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103065216-21280.png) A.∠3=∠4 | B.∠A=∠B | C.AC=BC | D.AO=BO |
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如图,若 ,且∠A=75°,∠B=30°则∠F= °.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103065212-65665.png) |
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