小题1:如图所示
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103082713-68444.png) 小题2:△BCD是黄金三角形. 证明如下: ∵点D在AB的垂直平分线上, ∴AD=BD, ∴∠ABD=∠A. ∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=72°, ∴∠ABD=∠DBC=36°. 又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°, ∴∠BDC=∠C, ∴BD=BC, ∴△BCD是黄金三角形. 小题3:设BC=x,AC=y, 由(2)知,AD=BD=BC=x. ∵∠DBC=∠A,∠C=∠C, ∴△BDC∽△ABC, ∴ ,即 , 整理,得 , 解得 ./ 因为x、y均为正数,所以 . 小题4:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103082714-19907.png) 理由:延长BC到E,使CD=AC,连接AE. ∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠ACB=∠B=72°, ∴∠ACE=180°-72°=108°, ∴∠ACE=∠B1A1C1. ∵A1B1=AB, ∴AC=CE=A1B1=A1C1, ∴△ACE≌△B1A1C1, ∴AE=B1C1. 由(3)知,, ∴ , , ∴ . |