在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F是BC的中点,连接DE、EF、FD.则以下结论中一定正确的个数有( )①EF=FD ②AD :AB
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在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F是BC的中点,连接DE、EF、FD.则以下结论中一定正确的个数有( )①EF=FD ②AD :AB
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在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F是BC的中点,连接DE、EF、FD.则以下结论中一定正确的个数有( )
①EF=FD ②AD :AB=AE:AC ③△DEF是等边三角形
④BE+CD=BC ⑤当∠ABC=45°时,BE=
DE
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案
C
解析
分析:①EF、FD是直角三角形斜边上的中线,都等于BC的一半;②可证△ABD∽△ACE;③证明∠EFD=60°;④假设结论成立,在BC上取满足条件的点H,证明其存在性;⑤当∠ABC=45°时,EF不一定是BC边的高.
解答:解:①∵BD、CE为高,∴△BEC、△BDC是直角三角形.
∵F是BC的中点,∴EF=DF=
BC.故正确;
②∵∠ADB=∠AEC=90°,∠A公共,∴△ABD∽△ACE,得AD:AB=AE:AC.故正确;
③∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵F是BC的中点,∴EF=BF,DF=CF.∴∠ABF=∠BEF,∠ACB=∠CDF.
∴∠BFE+∠CFD=120°,∠EFD=60°.又EF=FD,∴△DEF是等边三角形.故正确;
④若BE+CD=BC,则可在BC上截取BH=BE,则HC=CD.
∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°.又∵BH=BE,HC=CD,
∴∠BHE+∠CHD=120°,∠EHD=60°.
所以存在满足条件的点,假设成立,但一般情况不一定成立,故错误;
⑤当∠ABC=45°时,在Rt△BCE中,BC=
BE,在Rt△ABD中,AB=2AD,
由B、C、D、E四点共圆可知,△ADE∽△ABC,
∴
=
=
,即
,∴BE=
DE,故正确;
故此题选C.
举一反三
如图,DE是
的中位线,M、N分别是
中点,
,则
▲
.
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等腰三角形的两边长分别为7cm和3cm,则它的周长为___
__.
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代号为①、②、③、④的4张三角形纸片都有一个角为50°.若它们另有一个角分别为50°、70°、80°、90°,则其中只有代号为
的纸片能沿直线剪一刀得到等腰梯形.
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(1)如图1,已知∠
AOB
,
OA
=
OB
,点
E
在
OB
边上,四边形
AEBF
是平行四边形,请你只用无刻度的直尺在图中画出∠
AOB
的平分线.(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)如图2,Rt△
ABC
中,∠
C
=90°,
AC
=4,
BC
=3,以△
ABC
的一边为边画等腰三角形,使它的第三个顶点在△
ABC
的其它边上.请在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形,且三个图形中的等腰三角形各不相同,并在图下方的横线上写明所画等腰三角形的腰和腰长(不要求尺规作图).
(图2)
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