已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC= AB，P是边AC上的一个点，AP= PD，∠APD=∠ABC，联结DC并延长交边AB的延长线于点E．（1）求证

题型：上海市期末题难度：来源：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC= AB，P是边AC上的一个点，AP= PD，∠APD=∠ABC，联结DC并延长交边AB的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由．

答案

（1）证明：∵ ， ，
∴ ． 
又∵∠APD=∠ABC，
∴△APD∽△ABC． 
∴∠DAP=∠ACB． 
∴AD∥BC． 
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DAP=∠DPA．
∴AD=PD． 
∵AP=x，∴AD=2x
∵ ，AB=4，∴BC=2．
∵AD∥BC，
∴ ，即整理，得y关于x的函数解析式为
定义域为 
（3）解：平行证明：
∵∠CPD=∠CBE，∠PCD>∠E，
∴当△CDP与△CBE相似时，∠PCD=∠BCE
∴ ，即
把代入，整理得 ．
∴x=2，x=-2（舍去）
∴y=4．
∴AP=CP，AB=BE
∴BP∥CE，即BP∥DE．