如图，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC，AC=5cm，BC=10cm．（1）图中哪两个三角形会相似？请说明理由．（2）求BD的长．

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如图，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC，AC=5cm，BC=10cm．
（1）图中哪两个三角形会相似？请说明理由．
（2）求BD的长．

答案

解：（1）图中△CDA∽△CAB．
∵∠ADC=∠BAC，且∠C=∠C，
∴△CDA∽△CAB．
（2）∵△CDA∽△CAB，
∴

，
∵AC=5cm，BC=10cm．
∴

，
∴CD=2.5（cm）
∵BD=BC﹣CD，
∴BD=10﹣2.5=7.5

举一反三

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）△ABE与△DCA是否相似？请加以说明．
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围．
（3）当BE=CD时，分别求出线段BD、CE、DE的长，并通过计算验证BD²+CE²=DE²．
（4）在旋转过程中,（3）中的等量关系BD²+CE²=DE²是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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如图，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要△AED∽△ABC，应添加条件是（）（只写出一种即可）．

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在△ABC中，∠C=90°．
（1）如图1，P是AC上的点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．例如：过点P作PD∥BC交AB于D，则截得的△ADP与△ABC相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．
（2）如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）

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如图，在正方形网格上有△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的面积比．

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如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）证明△ABE∽△DFA；
（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长．

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