已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，

题型：四川省月考题难度：来源：

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）求出cosB的值；
（2）用含y的代数式表示AE；
（3）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（4）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值．

答案

解：（1）∵∠C=90°，BC=4，AC=8，
∴cosB=BC：AB=4：4=，  
（2）∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF为矩形，
 ∵DF=y，
∴DF=EC=y，
∵AC=8，AE=AC﹣EC，
∴AE=8﹣y，  
（3）∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
 ∴∠A+∠B=90°，∠BDF+∠ADF=90°，
 ∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴，
∵矩形DECF，DF=y，DE=x，
 ∴CF=x，CE=y，
∴BF=BC﹣CF=4﹣x，
∵AE=8﹣y，
 ∴，
 ∴y=﹣2x+8（0＜x＜4），  
（4）∵y=﹣2x+8，DE=x，DF=y，
 ∴S=DEDF=xy=x（﹣2x+8）=﹣2x²+8x，
∴==16，
∴S的最大值为16．