已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=5，BC=3，AC与BD相交于点M，且DM=。（1）求证：△ABM∽△CMD；（2）求∠BCD的正弦值

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已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=5，BC=3，AC与BD相交于点M，且DM=

。
（1）求证：△ABM∽△CMD；
（2）求∠BCD的正弦值。

答案

解：（1）证明：∵AB∥DC，AC、BD相交于点M，
∴△AMB∽△CMD；
（2）∵△AMB∽△CMD，
∴

，
∴MB=

，
∴DB=DM+MB=4，
∴

，
∴△DBC为直角三角形（∠DBC=90°），
∴sin∠BDC=

。

举一反三

已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，且∠ABD=∠ACB。
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AD=5，AB=7，求AC的长。

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如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β。
（1）如图②，当β=______°（用含的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；
（2）如图③，连结BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F，请写出图中两对相似三角形_______，________，（不含全等三角形），并选一对证明。

① ② ③

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如图，在4×4的正方形网格中各有一个三角形，试用学过的相似三角形的判定定理判定其中是相似三角形的是

[ ]
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④

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如图，点E是□ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，BD是其对角线，与AE相交于点G，则图中相似三角形共有

[ ]
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对

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如图，已知D是△ABC的边AB上的一点，根据下列条件，能得到△ABC∽△CBD的是

[ ]
A.AC·BC=AB·CD
B.AC·BD=BC·CD
C.BC²=AB·BD
D.BD·CD=AC·BC

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