如图,△ABC中,∠BAC=90°,BG平分∠ABC,GF⊥BC于点F,AD⊥BC于点D,交BG于点E,连接EF.(1)求证:①AE=AG;②四边形AEFG为菱

如图,△ABC中,∠BAC=90°,BG平分∠ABC,GF⊥BC于点F,AD⊥BC于点D,交BG于点E,连接EF.(1)求证:①AE=AG;②四边形AEFG为菱

题型:四川省期末题难度:来源:
如图,△ABC中,∠BAC=90°,BG平分∠ABC,GF⊥BC于点F,AD⊥BC于点D,交BG于点E,连接EF.
(1)求证:①AE=AG;②四边形AEFG为菱形.
(2)若AD=8,BD=6,求AE的长.
答案
证明:(1)①∵BG平分∠ABC,
∴∠ABE=∠DBE,
∵∠ABE+∠AGE=90°,∠EBD+∠DEB=90°,∠GEA=∠BED,
∴∠AEG=∠EGA,即AG=AE;
②∵GF⊥BC于点F,AD⊥BC于点D,BG平分∠ABC,
∴AD∥GF,AG=GF,
又∵AG=AE,
∴AE=GF,
∴四边形AEFG是平行四边形,
又∵AG=AE,
∴四边形AEFG为菱形;
(2)由题意可知,在Rt△ABD中,AD=8,BD=6,
∴AB=10,
∵∠CAB=∠ADB=90°,∠ABD=∠CBA(公共角),
∴△ABC∽△DBA,
故可求出AC=,BC=
在△ADC中,由平行线分线段成比例可设AG=GF=x,
则x:AD=CG:AC,
即x:8=
解得:x=5,
所以AE的长为5.
举一反三
如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,F为ED的中点.
求证:∠ABE=∠FBC.
题型:四川省期末题难度:| 查看答案
如图,已知E、F、G分别是△ABC各边的中点,△EBF的面积为2,则△ABC的面积为
[     ]
A.2
B.4
C.6
D.8
题型:广东省期末题难度:| 查看答案
将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后,得到的三角形一定是[     ]
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上三种情况都有可能
题型:湖北省期末题难度:| 查看答案
操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点,图1,2,3是旋转三角板得到的图形中的3种情况。
研究:
(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系,并结合图2加以证明;
(2)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由;
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系?并结合图4加以证明。
题型:湖北省期中题难度:| 查看答案
网格中每个小正方形的边长都是1,在下列各个图中画一个格点△DEF,使△DEF∽△ABC,并且注明相似比。
相似比为 _________ ;
相似比为 _________
题型:浙江省期中题难度:| 查看答案
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