如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E。(1)求证:AB·AF=CB·CD;(2)已

如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E。(1)求证:AB·AF=CB·CD;(2)已

题型:期末题难度:来源:
如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E。
(1)求证:AB·AF=CB·CD;
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是线段DE上的动点,设DP=xcm,梯形BCDP的面积为ycm2
①求y关于x的函数关系式;
②当x为何值时,△PBC的周长最小,并求出此时y的值。
答案
解:(1)∵
∴DE垂直平分AC,
,∠DFA=∠DFC=90°,∠DAF=∠DCF,
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,
∴∠DCF=∠DAF=∠B,
在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B,
∴△DCF∽△ABC,


∴AB·AF=CB·CD;
(2)①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,


 ∴
②∵BC=9(定值),
∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小,
由(1)知,点C关于直线DE的对称点是点A,
∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小,
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小,
此时DP=DE,PB+PA=AB,
由(1)
得△DAF∽△ABC,EF∥BC,
,EF=
∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15,
∴AD=10,
Rt△ADF中,AD=10,AF=6,
∴DF=8,

∴当时,△PBC的周长最小,此时
举一反三
如图,D为△ABC的边AC上的一点,∠DBC=∠A,已知BC=,△BCD与△ABC的面积的比是2∶3,则CD的长是(    )。
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如图,已知△ADE与△ABC的相似比为2:1,则△ADE与△ABC的面积比为
[     ]
A.1:2
B.1:4
C.2:1
D.4:1
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如图,在平行四边形ABCD中,E为AB上一点,DE 与AC交于点F,AF∶FC=3∶7,则AE∶EB=(    )。
题型:江西省期末题难度:| 查看答案
如图,△ABC中,DE∥BC,DE分别交边AB、AC于D、E两点,若AD:AB=1:3,则△ADE与△ABC的面积比为(    )。
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如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1
(1)若c=a1,求证:a=kc;
(2)若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数,并加以说明;
(3)若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2?请说明理由。
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