函数f(x)=sin(x+π3)sin(x+π2)的最小正周期是T=______

题型：填空题难度：简单来源：上海

函数f(x)=sin(x+

)sin(x+

)的最小正周期是T=______

答案

y=sin(x+

)sin(x+

)=(sinxcos

+cosxsin

)cosx=

sinxcosx+

cos2x=

sin2x+

•

1+cos2x

sin(2x+

)∴T=π．
故填：π．

举一反三

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f(x1)-f(x2)|≤

．

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设函数f(x)=

a2-x2

|x+a|+a

．（a∈R且a≠0）
（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．
（2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．

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已知函数y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，则x₀称是函数y=f（x）的一个不动点，设f(x)=

-2x+3

2x-7

．
（1）求函数y=f（x）的不动点；
（2）对（1）中的二个不动点a、b（假设a＞b），求使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常数k的值；
（3）对由a₁=1，a_n=f（a_n-1）定义的数列{a_n}，求其通项公式a_n．

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已知函数f(x)=

x2+ax+4

(x≠0)．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范围．

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设f(x)=

，对任意实数t，记gt(x)=t

t．
（I）求函数y=f（x）-g₈（x）的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数x₀，使得g₈（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

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