设函数f(x)=a2-x2|x+a|+a.(a∈R且a≠0)(1)分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性.(2)在a∈R且a≠0的条件下,将(1)的结论加以推
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设函数f(x)=a2-x2|x+a|+a.(a∈R且a≠0)(1)分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性.(2)在a∈R且a≠0的条件下,将(1)的结论加以推
题型:解答题
难度:一般
来源:长宁区一模
设函数
f(x)=
a
2
-
x
2
|x+a|+a
.(a∈R且a≠0)
(1)分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性.
(2)在a∈R且a≠0的条件下,将(1)的结论加以推广,使命题(1)成为推广后命题的特例,并对推广的结论加以证明.
答案
(1)当a=1时,
f(x)=
1-
x
2
|x+1|+1
,由1-x
2
≥0,
∴-1≤x≤1.所以
f(x)=
1-
x
2
x+2
∵
f(
1
2
)=
3
5
,f(-
1
2
)=
3
3
,∴
f(
1
2
)≠f(-
1
2
),f(
1
2
)≠-f(-
1
2
)
,
∴f(x)为非奇非偶函数. (4分)
(如举其他的反例同样给分)
当a=-2时,
f(x)=
4-
x
2
|x-2|-2
,由4-x
2
≥0,得-2≤x≤2,
所以
f(x)=
4-
x
2
-x
,x∈[-2,0)∪(0,2],
∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.(4分)
(2)当a>0时,f(x)为非奇非偶函数;当a<0时,f(x)为奇函数.(2分)a>0时,由a
2
-x
2
≥0,得-a≤x≤a,
∴
f(x)=
a
2
-
x
2
x+2a
,可以验证:
对任意的a>0,f(
a
2
)≠f(-
a
2
),f(-
a
2
)≠-f(
a
2
)
,
∴f(x)为非奇非偶函数.(如举其他的反例同样给分) (3分)
a<0时,由a
2
-x
2
≥0,得a≤x≤-a,∴
f(x)=
a
2
-
x
2
-x
,x∈[a,0)∪(0,-a]
,
并且对定义域中任意的x,f(-x)=-f(x)成立,∴f(x)为奇函数.(3分)
举一反三
已知函数y=f(x),若存在x
0
,使得f(x
0
)=x
0
,则x
0
称是函数y=f(x)的一个不动点,设
f(x)=
-2x+3
2x-7
.
(1)求函数y=f(x)的不动点;
(2)对(1)中的二个不动点a、b(假设a>b),求使
f(x)-a
f(x)-b
=k•
x-a
x-b
恒成立的常数k的值;
(3)对由a
1
=1,a
n
=f(a
n-1
)定义的数列{a
n
},求其通项公式a
n
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
x
2
+ax+4
x
(x≠0)
.
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)若f(x)在[3,+∞)上恒大于0,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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设
f(x)=
x
3
3
,对任意实数t,记
g
t
(x)=
t
2
3
x-
2
3
t
.
(I)求函数y=f(x)-g
8
(x)的单调区间;
(II)求证:(ⅰ)当x>0时,f(x)≥g
t
(x)对任意正实数t成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数x
0
,使得g
8
(x
0
)≥g
t
(x
0
)对任意正实数t成立.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a>0,c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点,且有f(c)=0,当0<x<c时,恒有f(x)>0.
(1)(文)当a=1,
c=
1
2
时,求出不等式f(x)<0的解;
(2)(理)求出不等式f(x)<0的解(用a,c表示);
(3)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a的取值范围;
(4)若f(0)=1,且f(x)≤m
2
-2km+1,对所有x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且
y=f(x+
π
2
)
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①y=f(x)是周期函数;②x=π是它的一条对称轴
③(-π,0)是它图象的一个对称中心;④当
x=
π
2
时,它一定取最大值
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③
题型:单选题
难度:简单
|
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