已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x+π2)为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述,其中描述正确的是(  )①y=f(x)是周期函数;②x=

已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x+π2)为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述,其中描述正确的是(  )①y=f(x)是周期函数;②x=

题型:单选题难度:简单来源:不详
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x+
π
2
)
为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述,其中描述正确的是(  )
①y=f(x)是周期函数;②x=π是它的一条对称轴
③(-π,0)是它图象的一个对称中心;④当x=
π
2
时,它一定取最大值
A.①②B.①③C.②④D.②③
答案
证明:由已知可得:
f(-x)=-f(x) …(1)
f(-x-
π
2
)=-f(x+
π
2
)…(2)
f(-x+
π
2
)=f(x+
π
2
)…(3)
由(3)知 函数f(x)有对称轴x=
π
2

由(2)(3)得 f(-x-
π
2
)=-f(-x+
π
2
);
令z=-x+
π
2
则-x-
π
2
=z-π,
∴f(z-π)=-f(z),
故有f(z-π-π)=-f(z-π),
两者联立得 f(z-2π)=f(z),
可见函数f(x)是周期函数,且周期为2π;
由(1)知:f(-z)=-f(z),代入上式得:f(z-2π)=-f(-z);
由此式可知:函数f(x)有对称中心(-π,0)
由上证知①③是正确的命题.
故应选B.
举一反三
函数f(x)=
x


9-x2
(  )
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=ln2(1+x)-
x2
1+x
.

(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若不等式(1+
1
n
)n+a≤e
对任意的n∈rmN*都成立(其中e是自然对数的底数).求a的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=x3+sinx,若0≤θ≤
π
2
时,f(mcosθ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A.(0,1]B.(-∞,1)C.(-∞,1]D.(0,
1
2
)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
定义在R上的奇函数f (x),已知x>0时,f (x)=log2x,则方程f (x)=1的解集是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=loga


x2+1
+bx) (a>0且a≠1),则下列叙述正确的是(  )
A.若a=
1
2
,b=-1,则函数f(x)为R上的增函数
B.若a=
1
2
,b=-1,则函数f(x)为R上的减函数
C.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,则b=±1
D.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则b=1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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