(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(-1,+∞),f′(x)=-=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x | (1+x)2 | . 设g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,则g"(x)=2ln(1+x)-2x. 令h(x)=2ln(1+x)-2x,则h′(x)=-2=. 当-1<x<0时,h"(x)>0,h(x)在(-1,0)上为增函数, 当x>0时,h"(x)<0,h(x)在(0,+∞)上为减函数. 所以h(x)在x=0处取得极大值,而h(0)=0,所以g"(x)<0(x≠0), 函数g(x)在(-1,+∞)上为减函数. 于是当-1<x<0时,g(x)>g(0)=0, 当x>0时,g(x)<g(0)=0. 所以,当-1<x<0时,f"(x)>0,f(x)在(-1,0)上为增函数. 当x>0时,f"(x)<0,f(x)在(0,+∞)上为减函数. 故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞). (Ⅱ)不等式(1+)n+a≤e等价于不等式(n+a)ln(1+)≤1. 由1+>1知,a≤-n. 设G(x)=-,x∈(0,1], 则G′(x)=-+=(1+x)ln2(1+x)-x2 | x2(1+x)ln2(1+x) | . 由(Ⅰ)知,ln2(1+x)-≤0,即(1+x)ln2(1+x)-x2≤0. 所以G"(x)<0,x∈(0,1],于是G(x)在(0,1]上为减函数. 故函数G(x)在(0,1]上的最小值为G(1)=-1. 所以a的最大值为-1. |