已知函数f(x)=x2+ax+4x(x≠0)．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x2+ax+4

x

(x≠0)．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范围．

答案

（1）由题意知，f（x）的定义域关于原点对称，
若f（x）为奇函数，则f(-x)=

(-x)2+a(-x)+4

-x

=-f(x)，
即

(-x)2+a(-x)+4

-x

=-

x2+ax+4

x

，解得a=0．
（2）由f（x）=

x2+ax+4

x

得，f′(x)=1-

4

x2

，
∴在[3，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）在[3，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[3，+∞）上恒大于0只要f（3）大于0即可，即3a+13＞0，解得a＞-

13

3

，
故a的取值范围为a＞-

13

3

．