已知函数f(x)=x2+ax+4x(x≠0)．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范围．

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已知函数f(x)=

x2+ax+4

(x≠0)．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范围．

答案

（1）由题意知，f（x）的定义域关于原点对称，
若f（x）为奇函数，则f(-x)=

(-x)2+a(-x)+4

-x

=-f(x)，
即

(-x)2+a(-x)+4

-x

x2+ax+4

，解得a=0．
（2）由f（x）=

x2+ax+4

得，f′(x)=1-

，
∴在[3，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）在[3，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[3，+∞）上恒大于0只要f（3）大于0即可，即3a+13＞0，解得a＞-

，
故a的取值范围为a＞-

．

举一反三

设f(x)=

，对任意实数t，记gt(x)=t

t．
（I）求函数y=f（x）-g₈（x）的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数x₀，使得g₈（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

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已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）（文）当a=1，c=

时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

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已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f(x+

)为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述，其中描述正确的是（　　）
①y=f（x）是周期函数；②x=π是它的一条对称轴
③（-π，0）是它图象的一个对称中心；④当x=

时，它一定取最大值

A．①②

B．①③

C．②④

D．②③

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函数f(x)=

9-x2

（　　）

A．是奇函数但不是偶函数

B．是偶函数但不是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数

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已知函数f(x)=ln2(1+x)-

1+x

.
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式(1+

)n+a≤e对任意的n∈rmN^*都成立（其中e是自然对数的底数）．求a的最大值．

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