已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点,且有f(c)=0,当0<x<c时,恒有f(x)>0.(1)(文)当a=1

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点,且有f(c)=0,当0<x<c时,恒有f(x)>0.(1)(文)当a=1

题型:解答题难度:一般来源:闵行区一模
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点,且有f(c)=0,当0<x<c时,恒有f(x)>0.
(1)(文)当a=1,c=
1
2
时,求出不等式f(x)<0的解;
(2)(理)求出不等式f(x)<0的解(用a,c表示);
(3)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a的取值范围;
(4)若f(0)=1,且f(x)≤m2-2km+1,对所有x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)文:当a=1,c=
1
2
时,f(x)=x2+bx+
1
2
,f(x)的图象与x轴有两个不同交点,
f(
1
2
)=0
,设另一个根为x2,则
1
2
x2=
1
2
,∴x2=1,(2分)
则 f(x)<0的解为  
1
2
<x<1
.(4分)
(2)理:f(x)的图象与x轴有两个交点,∵f(c)=0,
设另一个根为x2,则cx2=
c
a
x2=
1
a
(2分)
又当0<x<c时,恒有f(x)>0,则
1
a
>c
,则f(x)<0的解为c<x<
1
a
(4分)
(3)f(x)的图象与x轴有两个交点,∵f(c)=0,
设另一个根为x2,则cx2=
c
a
x2=
1
a

又当0<x<c时,恒有f(x)>0,则
1
a
>c
,则三交点为(c,0),(
1
a
,0),(0,c)
(6分)
这三交点为顶点的三角形的面积为S=
1
2
(
1
a
-c)c=8
,(7分)
a=
c
16+c2
c
2


16
c
=
1
8
a∈(0,  
1
8
]
.(10分)
(4)当0<x<c时,恒有f(x)>0,则
1
a
>c

∴f(x)在[0,c]上是单调递减的,且在x=0处取到最大值1,(12分)
要使f(x)≤m2-2km+1,对所有x∈[0,c],k∈[-1,1]恒成立,必须f(x)max=1≤m2-2km+1成立,(14分)
必m2-2km≥0,令g(k)=-2km+m2
对所有k∈[-1,1],g(k)≥0恒成立,只要





g(1)≥0
g(-1)≥0
,即





m2-2m≥0
m2+2m≥0
(16分)
解得实数m的取值范围为  m≤-2或m=0或m≥2.(18分)
或者按m<0,m=0,m>0分类讨论,每一类讨论正确得(2分),结论(2分).
举一反三
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x+
π
2
)
为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述,其中描述正确的是(  )
①y=f(x)是周期函数;②x=π是它的一条对称轴
③(-π,0)是它图象的一个对称中心;④当x=
π
2
时,它一定取最大值
A.①②B.①③C.②④D.②③
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=
x


9-x2
(  )
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=ln2(1+x)-
x2
1+x
.

(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若不等式(1+
1
n
)n+a≤e
对任意的n∈rmN*都成立(其中e是自然对数的底数).求a的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=x3+sinx,若0≤θ≤
π
2
时,f(mcosθ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A.(0,1]B.(-∞,1)C.(-∞,1]D.(0,
1
2
)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
定义在R上的奇函数f (x),已知x>0时,f (x)=log2x,则方程f (x)=1的解集是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.