已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E。（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径。

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已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E。

（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径。

答案

解：（1）证明：连结OD，
∵DE切⊙O于点D，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
又∵AD=DC，AO=OB，
∴OD//BC，
∴∠DEC=∠ODE=90°，
∴DE⊥BC；
（2）连结BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，△Rt△CDB∽△Rt△CED，
∴

，
∴BC=

，
又∵OD=

BC，
∴OD=

，即⊙O的半径为

。

举一反三

如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）。

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如图（1），用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD、若AE=4，CE=3BE，那么这个四边形的面积是（）。

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（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为____；∠APB的大小为____；
（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k·OB，OC=k·OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为____；∠APB的大小为____。

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如图，点D，E分别在△ABC的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥CD，EF与AC交于点G，且∠BDE=∠A。
（1）试问：AB·FG=CF·CA成立吗？说明理由；
（2）若BD=FC，求证：△ABC是等腰三角形。

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已知：如图，⊙O与⊙A相交于C，D两点，A，O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点△CDE，连接BD。

（1）求证：△ACG∽△DBG；
（2）求证：AC²=AG·AB；
（3）若⊙A，⊙O的直径分别为

，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长。

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