已知:如图,⊙O与⊙A相交于C,D两点,A,O分别是两圆的圆心,△ABC内接于⊙O,弦CD交AB于点G,交⊙O的直径AE于点△CDE,连接BD。(1)求证:△A

已知:如图,⊙O与⊙A相交于C,D两点,A,O分别是两圆的圆心,△ABC内接于⊙O,弦CD交AB于点G,交⊙O的直径AE于点△CDE,连接BD。(1)求证:△A

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已知:如图,⊙O与⊙A相交于C,D两点,A,O分别是两圆的圆心,△ABC内接于⊙O,弦CD交AB于点G,交⊙O的直径AE于点△CDE,连接BD。
(1)求证:△ACG∽△DBG;
(2)求证:AC2=AG·AB;
(3)若⊙A,⊙O的直径分别为,15,且CG:CD=1:4,求AB和BD的长。
答案
解:(1)在中,

。(2)连结AD,则



又∵



(3)连结CE,则
相交于C,D两点
∴圆心O,A在弦CD的垂直平分线上,即AO垂直平分弦CD

的直径分别为,15

中,∵



中,由勾股定理,得

解得(舍去负值)


中,由勾股定理,得

(舍去负值)
由(2),有

解得
由(1),有,得

举一反三
已知:如图,在正方形ABCD中,AD=12,点E是边CD上的动点(点E不与端点C,D重合),AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G,交AB的延长线于点P。
(1)设DE=m(0<m<12),试用含m的代数式表示的值;
(2)在(1)的条件下,当时,求BP的长。
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如图:四边形ABCD中,E、F、G、H分别为各边的中点,顺次连接E、F、G、H,把四边形EFGH称为中点四边形,连接AC、BD,容易证明:中点四边形EFGH一定是平行四边形。
(1)如果改变原四边形ABCD的形状,那么中点四边形的形状也随之改变,通过探索可以发现:
当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时,四边形EFGH为菱形;
当四边形ABCD的对角线满足_______________时,四边形EFGH为矩形;
当四边形ABCD的对角线满足________________时,四边形EFGH为正方形。
(2)探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系,请写出你发现的结论,并加以证明。
(3)如果四边形ABCD的面积为2,那么中点四边形EFGH的面积是多少?
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
如图,已知:在△ABC中,D为BC边上一点,且BD∶DC=2∶3,M为AD边上一点,AM∶MD=4∶1,则AE∶EC=(    )。
题型:黑龙江省期末题难度:| 查看答案
在△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,并且AD2=BD·CD,则∠BCA的度数为(    )。
题型:黑龙江省期末题难度:| 查看答案
如图,点E在正方形ABCD的边CD上运动,AC与BE交于点F。
(1)如图1,当点E运动到DC的中点时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;
(2)如图2,当点E运动到CE:ED=2:1时,求△ABF与四边形ADEF的面积之比;
(3)当点E运动到CE:ED=3:1时,写出△ABF与四边形ADEF的面积之比;当点E运动到CE:ED=n:1(n是正整数)时,猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比(只写结果,不要求写出计算过程);
(4)请你利用上述图形,提出一个类似的问题。
题型:山西省中考真题难度:| 查看答案
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