已知正方形纸片ABCD的边长为2。操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，P

题型：北京中考真题难度：来源：

已知正方形纸片ABCD的边长为2。
操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G。
探究：（1）观察操作结果，找到一个与相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与周长的比是多少（图2为备用图）？

答案

解：（1）与△EDP相似的三角形是△PCG；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
由折叠知∠EPQ=∠A=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3
∴△PCG∽△EDP；
（2）设ED=x，则AE=2-x，
由折叠可知：EP=AE=2-x，
∵点P是CD中点，
∴DP=1，
∵∠D=90°，
∴，即，解得，
∴，
∵，
∴，
∴△PCG与△EDP周长的比是4∶3。