如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC= BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连接CD,G是CD的中点,连接

如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC= BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连接CD,G是CD的中点,连接

题型:四川省中考真题难度:来源:
如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC= BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连接CD,G是CD的中点,连接OG。
(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;
(2)求证:AE=BF;
(3)若OG·DE=,求⊙O的面积。
答案

解:(1)猜想:OG⊥CD;
证明:如图,连接OC、OD,
∵OC=OD,G是CD的中点,
∴由等腰三角形的性质,有OG⊥CD;
(2)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
而∠CAE=∠CBF(同弧所对的圆周角相等),
在Rt△ACE和Rt△BCF中,
∵∠ACE=∠BCF=90°,AC=BC,∠CAE=∠CBF,
∴Rt△ACE≌Rt△BCF(ASA),
∴AE=BF;
(3)如图,过点O作BD的垂线,垂足为H,则H为BD的中点,
,即AD=2OH,
又∠CAD=∠BADCD=BD,
∴OH=OG,
在Rt△BDE和Rt△ADB中,
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD,
∴Rt△BDE∽Rt△ADB,
,即BD2=AD·DE,
∴BD2=AD·DE=2OG·DE=
又BD=FD,
∴BF=2BD,
∴BF2=4BD2=
设AC=x,则BC=x,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠FAD=∠BAD,
在Rt△ABD和Rt△AFD中,
∵∠ADB=∠ADF=90°,AD=AD,∠FAD=∠BAD,
∴Rt△ABD≌Rt△AFD(ASA),
,BD=FD,
∴CF=AF-AC=
在Rt△BCF中,由勾股定理,得
BF2=BC2+CF2=x2+②,
由①、②,得
∴x2=12,解得(舍去),

∴⊙O的半径长为
∴S⊙O=

举一反三
一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M,N,与反比例函数的图象交于点A,B,过点A分别作AC⊥x轴,AE⊥y轴,垂足分别为C,E;过点B分别作BF⊥x轴,BD⊥y轴,垂足分别为F,D,AC与BD交于点K.连接CD。
(1)若点A,B在反比例函数的图象的同一分支上,如图(1),试证明:
①S四边形AEDK=S四边形CFBK
②AN=BM;
(2)若点A,B分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图(2),则AN与BM还相等吗?试证明你的结论。
题型:山东省中考真题难度:| 查看答案
下列命题中不成立的是 [     ]
A.矩形的对角线相等
B.三边对应相等的两个三角形全等
C.两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方
D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
题型:安徽省中考真题难度:| 查看答案
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4AD=,∠B=45°,直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动,一直角边始终经过点A,斜边与CD交于点F,若△ABE为等腰三角形,则CF的长等于(    )。
题型:山西省中考真题难度:| 查看答案
若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为(    )。
题型:黑龙江省中考真题难度:| 查看答案
已知:△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F。
(1)如图(1),若△ABC为锐角三角形,且∠ABC=45°,过点F作FG∥BC,交AB于点G,求证:FG+DC=AD;
(2)如图(2),若∠ABC=135°,过点F作FG∥BC,交AB的延长线于点G,则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____;
(3)在(2)的条件下,若,DC=3,将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转,这个角的两边分别交线段FG于M、N两点(如图(3)),连接CF,线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点,若,求线段PQ的长。
题型:黑龙江省中考真题难度:| 查看答案
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