如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q（1）当m=10

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q
（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连结AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围。

答案

解：（1）假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如图），
∵PQ⊥PD，
∴∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
又∠ADP+∠APD=90°，
∴∠BPC=∠ADP，
又∠B=∠A=90°，
∴△PBC∽△DAP，
∴，
∴，
∴AP=2或8，
∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2或8；（2）如图，∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠BPQ=∠ADP，
∴∠BAC=∠ADP，
又∠B=∠DAP=90°，
∴△ABC∽△DAP，
∴，即，
∴AP=，
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC，，即，
∴；
（3）由已知PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），
∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，
∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4，
∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：
S_{四边形PQCD}=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△QBP
=DA×AB-×DA×AP-×PB×PQ
=4m-×4×（m-4）-×4×（m-4）
=16（4＜m≤8）。