在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′(0°<旋转角<90°)连接AC′、BD′,AC′

在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′(0°<旋转角<90°)连接AC′、BD′,AC′

题型:辽宁省中考真题难度:来源:
在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′(0°<旋转角<90°)连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M。
(1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,已知AC=BD,请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(3)当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,AD∥BC,此时(1)AC′与BD′的数量关系是否成立?∠AMB与α的大小关系是否成立?不必证明,直接写出结论。

答案
解:(1)AC′=BD′,∠AMB=α,
证明:在矩形ABCD中,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,
∴OA=OC=OB=OD,
又∵OD=OD′,OC=OC′,
∴OB=OD′=OA=OC′,
∵∠D′OD=∠C′OC,
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC,
∴∠BOD′=∠AOC′,
∴△BOD′≌△AOC′,
∴BD′=AC′,
∴∠OBD′=∠OAC′,
设BD′与OA相交于点N,
∴∠BNO=∠ANM,
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO,
即∠AMB=∠AOB=∠COD=α,
综上所述,BD′=AC′,∠AMB=α;
(2)AC′=kBD′,∠AMB=α,
证明:在平行四边形ABCD中,OB=OD,OA=OC,
又∵OD=OD′,OC=OC′,
∴OB:OA=OD′:C′,
∵∠D′OD=∠C′OC,
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC,
∴∠BOD′=∠AOC′,
∴△BOD′∽△AOC′,
∴BD′:AC′=OB:OA=BD:AC,
∵AC=kBD,
∴AC′=kBD′,
∵△BOD′∽△AOC′,
设BD′与OA相交于点N,
∴∠BNO=∠ANM,
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO,
即∠AMB=∠AOB=α,
综上所述,AC′=kBD′,∠AMB=α;
(3)AC′=BD′成立,∠AMB=α不成立。
举一反三
如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点,已知直线PA的解析式为:y=kx+3。
(1)设点P的纵坐标为p,写出p随变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明;
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值?若存在,请求出符合的k值;若不存在,请说明理由。
题型:山东省中考真题难度:| 查看答案
如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为
[     ]
A、2
B、3
C、4
D、6
题型:浙江省中考真题难度:| 查看答案
如图所示,在□ABCD中,E是BC的中点,且∠AEC=∠DCE,则下列结论不正确的是
[     ]
A.S△AFD=2S△EFB
B.BF=DF
C.四边形AECD是等腰梯形
D.∠AEB=∠ADC
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
图形既关于点O中心对称,又关于直线AC,BD对称,AC=10,BD=6,已知点E,M是线段AB上的动点(不与端点重合),点O到EF,MN的距离分别为h1,h2,△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形。
(1)求蝶形面积S的最大值;
(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求h1与h2满足的关系式,并求h2的取值范围。
题型:浙江省中考真题难度:| 查看答案
已知菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上,若DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则的值是(    )。
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
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