已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱

题型：福建省中考真题难度：来源：

已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P，
①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

答案

解：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AO=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，
∠ADO=∠ADC=×60°=30°
又∵E、F分别为DC、CB中点
∴OE=CD，OF=BC，AO=AD
∴0E=OF=OA
∴点O即为△AEF的外心；
              图1（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。
证明：如图2，分别连接PE、PA，
过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA，
∴PI=PJ
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。
②为定值2，
当AE⊥DC时，△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点，
连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心，如图3，设MN交BC于点G 设DM=x，DN=y（x≠0．y≠0），则CN=y-1
∵BC∥DA
∴△GBP∽△MDP
∴BG=DM=x
∴
∵BC∥DA，
∴△GBP∽△NDM
∴，
∴
∴
∴，即。