已知,如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,⊙O经过B,C,D三点,与AB交于另一点E.(1)请你仔细观察图形,连接图中已表明字母的某两点

已知,如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,⊙O经过B,C,D三点,与AB交于另一点E.(1)请你仔细观察图形,连接图中已表明字母的某两点

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已知,如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,⊙O经过B,C,D三点,与AB交于另一点E.
(1)请你仔细观察图形,连接图中已表明字母的某两点,得到一条新线段,证明它与线段AE相等;
(2)在图中,过点E作⊙O的切线,交AD于点F;
①求证:EF2=FD•FC;
②若AF=DF,求sinA的值.
答案
(1)连接CE;
证明:连接DE;
∵∠ABC=90°,
∴CE是⊙O的直径;
∴∠CDE=90°;
又∵AD=CD,
∴AE=CE.
(还可以连接OD,利用中位线定理证AE等于⊙O的直径,或连接BD,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证AD=BD,∠A=∠DBA,∠DBA=∠ACE)

(2)①证明:∵EF是⊙O的切线,
∴EF⊥EC;
∴△CEF△EDF;
EF
FD
=
FC
EF
,即EF2=FD•FC.

②∵AF=DF,AD=CD,
∴FD=
1
3
FC,∴EF2=
1
3
FC2
EF
FC
=


3
3

∴sin∠ACE=


3
3

又∵EA=EC,
∴∠ACE=∠A;
∴sin∠A=


3
3

举一反三
在正方形网格中,∠α的位置如图所示,则sinα的值为(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.


3
2
D.


3
3

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在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,a=15,b=17,∠A为定值,若满足上述条件的三角形的∠C唯一存在,则tan∠C的值等于______.
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已知cosα=
1
3
,则
3sinα-tanα
4sinα+2tanα
的值等于(  )
A.
4
7
B.
1
2
C.
1
3
D.0
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在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=2,BC=3,则下列等式正确的是(  )
A.sinB=
2
3
B.cosB=
2
3
C.tanB=
2
3
D.以上都不对
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已知△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sinA=______,cosA=______.
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