(1)①如图,作AE⊥PB于点E, ∵△APE中,∠APE=45°,PA=, ∴AE=PE=×=1, ∵PB=4,∴BE=PB-PE=3, 在Rt△ABE中,∠AEB=90°, ∴AB==. ②解法一:如图,因为四边形ABCD为正方形,可将 △PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P"AB, 可得△PAD≌△P"AB,PD=P"B,PA=P"A. ∴∠PAP"=90°,∠APP"=45°,∠P"PB=90° ∴PP′=PA=2, ∴PD=P′B===2; 解法二:如图,过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,与DA的 延长线交PB于G. 在Rt△AEG中, 可得AG===,EG=,PG=PE-EG=. 在Rt△PFG中, 可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=,FG=. 在Rt△PDF中,可得, PD===2.
(2)如图所示,
将△PAD绕点A顺时针旋转90° 得到△P"AB,PD的最大值即为P"B的最大值, ∵△P"PB中,P"B<PP"+PB,PP′=PA=2,PB=4, 且P、D两点落在直线AB的两侧, ∴当P"、P、B三点共线时,P"B取得最大值(如图) 此时P"B=PP"+PB=6,即P"B的最大值为6. 此时∠APB=180°-∠APP"=135度.
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