在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D.(1)如图1,请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系: AD=     BC ;(2)如图2,若P是线段BC上一个动点

在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D.(1)如图1,请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系: AD=     BC ;(2)如图2,若P是线段BC上一个动点

题型:不详难度:来源:
在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系: AD=     BC ;
(2)如图2,若P是线段BC上一个动点(点P不与点B、C重合),联结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到线段AE,联结CE,猜想线段AD、CE、PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图3,若点P是线段BC延长线上一个动点,(2)中的其他条件不变,按照(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出线段AD、CE、PC之间的数量关系.

答案
(1);(2)AD=,理由见解析;(3)补图见解析,AD=
解析

试题分析:(1)根据等边三角形的性质,得∠B=600,AB=BC,所以根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得AD=
(2)根据等边三角形和旋转的性质,证明△ABP≌△ACE即可求得结论.
(3)类同(2)的证明.
试题解析:(1)∵等边三角形ABC,∴∠B=600,AB=BC.
又∵AD⊥BC,∴
(2)AD=.理由如下:
∵线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到线段AE,∴∠PAE=60°,AP=AE.
∵等边三角形ABC,∴∠BAC=60°,AB=AC.
∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC.∴∠BAP=∠CAE.
在△ABP和△ACE中,∵
∴△ABP≌△ACE.∴BP=CE.
∵BP+PC=BC,∴CE+ PC=BC.
∵AD=BC,∴AD=
(3)补全图形如图:

∵线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到线段AE,∴∠PAE=60°,AP=AE.
∵等边三角形ABC,∴∠BAC=60°,AB=AC.
∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC.∴∠BAP=∠CAE.
在△ABP和△ACE中,∵
∴△ABP≌△ACE.∴BP=CE.
,∴
∵AD=BC,∴AD=
举一反三
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A.B.C.D.

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