海上有一小岛,为了测量小岛两端A、B的距离,测量人员设计了一种测量方法,如图所示,已知B点是CD的中点,E是BA延长线上的一点,测得AE=10海里,DE=30海

海上有一小岛,为了测量小岛两端A、B的距离,测量人员设计了一种测量方法,如图所示,已知B点是CD的中点,E是BA延长线上的一点,测得AE=10海里,DE=30海

题型:不详难度:来源:
海上有一小岛,为了测量小岛两端A、B的距离,测量人员设计了一种测量方法,如图所示,已知B点是CD的中点,E是BA延长线上的一点,测得AE=10海里,DE=30海里,且DE⊥EC,cos∠D=.
(1)求小岛两端A、B的距离;
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,求sin∠BCF的值.

答案
(1) 16.7(海里).(2)
解析

试题分析:(1)在Rt△CED中,利用三角函数求出CE,CD的长,根据中点的定义求得BE的长,AB=BE-AE即可求解;
(2)设BF=x海里.在Rt△CFB中,利用勾股定理求得CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2.在Rt△CFE中,列出关于x的方程,求得x的值,从而求得sin∠BCF的值.
(1)在Rt△CED中,∠CED=90°,DE=30海里,
∴cos∠D=
∴CE=40(海里),CD=50(海里).
∵B点是CD的中点,
∴BE=CD=25(海里)
∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7(海里).
答:小岛两端A、B的距离为16.7海里.
(2)设BF=x海里.
在Rt△CFB中,∠CFB=90°,
∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2
在Rt△CFE中,∠CFE=90°,
∴CF2+EF2=CE2,即625-x2+(25+x)2=1600.
解得x=7.
∴sin∠BCF=
考点: 解直角三角形的应用.
举一反三
如图,点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点,连接AF、DE相交于点G,连接CG,则cos∠CGD=(   )
A.       B.      C.      D.

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如图,某市进行城区规划,工程师需测某楼AB的高度,工程师在D得用高2m的测角仪CD,测得楼顶端A的仰角为30°,然后向楼前进30m到达E,又测得楼顶端A的仰角为60°,楼AB的高为
A.B.
C.D.

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如图14-1,在锐角△ABC中,AB = 5,AC =,∠ACB = 45°.
计算:求BC的长;
操作:将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.如图14-2,当点C1在线段CA的延长线上时.
(1)证明:A1C1⊥CC1
(2)求四边形A1BCC1的面积;

探究:
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.连结AA1,CC1,如图14-3.若△ABA1的面积为5,求点C到BC1的距离;
拓展:
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,如图14-4.
(1)若点P是线段AC的中点,求线段EP1长度的最大值与最小值;
(2)若点P是线段AC上的任一点,直接写出线段EP1长度的最大值与最小值.
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