在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y=+1,点C的坐标为(-4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在

在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y=+1,点C的坐标为(-4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在

题型:浙江省中考真题难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y=+1,点C的坐标为(-4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点 P(t,0)在x轴上。
(1)写出点M的坐标;
(2)当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时,
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值。
答案
解:(1)∵OABC是平行四边形,
∴AB∥OC,且AB=OC=4,
∵A,B在抛物线上,y轴是抛物线的对称轴,
∴A,B的横坐标分别是2和-2,代入y=+1得,A(2,2),B(-2,2),
∴M(0,2);
(2)①过点Q作QH^x轴,设垂足为H,则HQ=y,HP=x-t,
由△HQP∽△OMC,得:,即:t=x-2y,
∵Q(x,y)在y=+1上,
∴t=-+x-2,
当点P与点C重合时,梯形不存在,此时,t=-4,解得x=1±
当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x=±2,
∴x的取值范围是x≠1±,且x≠±2的所有实数;
②分两种情况讨论:
1)当CM>PQ时,则点P在线段OC上,
∵CM∥PQ,CM=2PQ,
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍,即2=2(+1),解得x=0,
∴t=-+0-2=-2,
2)当CM<PQ时,则点P在OC的延长线上,
∵CM∥PQ,CM=PQ,
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍,即+1=2×2,解得:x=±
当x=-时,得t=-2=-8-
当x=时,得t=-8。
举一反三
已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(4,1),与y轴的交点为A(0,5)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)若B(,0),C是(1)中抛物线上的点,CD⊥OB,垂足为D,△AOB∽△BDC,
①求点C的坐标;
②试判定以AC为直径的圆M与x轴有怎样的位置关系,并说明理由。
题型:福建省中考真题难度:| 查看答案
如图所示,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为y=-x+3,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E。

(1)求A、B、C三个点的坐标;
(2)点P为线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN。
①求证:AN=BM;
②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值。
题型:山东省中考真题难度:| 查看答案
如图,在平面直角坐标系中,正方形AOCB的边长为1,点D在x轴的正半轴上,且OD=OB,BD交OC于点E。
(1)求∠BEC的度数;
(2)求点E的坐标;
(3)求过B,O,D三点的抛物线的解析式。
(计算结果要求分母有理化,参考资料:把分母中的根号化去,叫分母有理化。
例如:等分母有理化)

题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与直线y=x相交于A,B两点。
(1)求线段AB的长;
(2)若一个扇形的周长等于(1)中线段AB的长,当扇形的半径取何值时,扇形的面积最大,最大面积是多少;
(3)如图2,线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C,D两点,垂足为点M,分别求出OM,OC,OD的长,并验证等式是否成立;
(4)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,设BC=a,AC=b,AB=c,CD=b,试说明:
题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
已知抛物线y=kx2-2kx+9-k(k为常数,k≠0),且当x>0时,y>1。
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)求k的取值范围;
(3)过动点P(0,n)作直线l⊥y轴,点O为坐标原点。
①当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n关于k的函数关系式;
②当直线l与抛物线相交于A、B两点时,是否存在实数n,使得不论k在其取值范围内取任意值时,△AOB的面积为定值?如果存在,求出n的值;如果不存在,说明理由。
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