已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（4，1），与y轴的交点为A（0，5）。（1）求抛物线的解析式；（2）若B（，0），C是（1）中抛物线上的点，

题型：福建省中考真题难度：来源：

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是（4，1），与y轴的交点为A（0，5）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若B（，0），C是（1）中抛物线上的点，CD⊥OB，垂足为D，△AOB∽△BDC，
①求点C的坐标；
②试判定以AC为直径的圆M与x轴有怎样的位置关系，并说明理由。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+1，
∵抛物线经过A（0，5），
∴5=a（0-4）²+1，
∴a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-4）²+1即y=x²-2x+5；
（2）①∵C在抛物线上，
∴设C（m，m²-2m+5），即CD=m²-2m+5OD=m，
∴BD=OD-OB=m-，
∵△AOB∽△BDC，
∴即，
解得m=5，∴C（5，）；
②∵∠CBD=∠BAO，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBD+∠ABO=90°，
∴∠ABC=90°，即△ABC是Rt△，
连结MB，
∵M是AC的中点，
∴MB=AC，
∵OB=BD=，
∴MB∥OA，
∴MB⊥x轴，即圆M与x轴相切。