如图,大海中有A和B两个岛屿,为测量它们之间的距离,在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=60°,∠BEQ=45°;在点F处测得∠AFP=45°,∠BFQ=90°,

如图,大海中有A和B两个岛屿,为测量它们之间的距离,在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=60°,∠BEQ=45°;在点F处测得∠AFP=45°,∠BFQ=90°,

题型:不详难度:来源:
如图,大海中有A和B两个岛屿,为测量它们之间的距离,在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=60°,∠BEQ=45°;在点F处测得∠AFP=45°,∠BFQ=90°,EF=2km.

(1)判断AB、AE的数量关系,并说明理由;
(2)求两个岛屿A和B之间的距离(结果保留根号).
答案
(1)AB=AE,理由见解析;(2)()km.
解析

试题分析:(1)根据SAS即可证明△AEF≌△ABF,得到AB=AE;
(2)作AH⊥PQ,垂足为H.设AE=x,在直角△AHF,直角△AEP中,利用三角函数表示出HE与HF,从而可得到关于x的方程,解方程即可得解.
试题解析:(1)相等.
∵∠BEQ=30°,∠BFQ=60°,
∴∠EBF=∠BEQ=30°,
∴EF=BF,
又∵∠AFP=60°,
∴∠BFA=60°.
在△AEF与△ABF中,

∴△AEF≌△ABF(SAS),
∴AB=AE;
(2)过点A作AH⊥PQ,垂足为H.

设AE=xkm,
则AH=xsin60°km,HE=xcos60°km,
∴HF=HE+EF=(xcos60°+2)km,
Rt△AHF中,AH=HF•tan45°,
∴AH=HF,
即:xsin60°= xcos60°+2
解得:x=
即AB=AE=()km.
答:两个岛屿A与B之间的距离为()km.
考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.
举一反三
如图,在等腰中,, 上一点.若,那么的长为(   )
A.2B.C.D.1

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计算:
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在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,cosA=,则AC等于(   )
A.36B.C.4D.

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计算=             
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如图,菱形ABCD的周长为40cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=,则下列结论正确的有(  )①DE=6cm;②BE=2cm;③菱形面积为60cm2;④BD=4cm.
A.1个B.2个C.3个D.4个

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