试题分析: 解:(1)连接P3C.
∵∠P3CA=∠A,∴P3C=P3A. 又∵∠P3CB=∠BCA-∠P3CA=60°,且∠B=∠BCA-∠A=60°, ∴∠P3CB=∠B,∴P3C=P3B, ∴P3A=P3B=AB. 在Rt△ABC中,cos∠A=, ∴AB==20 cm. ∴P3A=AB=10 cm. (2)连接P5C,作P5D⊥CA,垂足为D. 由题意得,∠P5CA=50°,设CD=x cm. 在Rt△P5DC中,tan∠P5CD=,∴P5D=CD·tan∠P5CD=1.2x. 在Rt△P5DA中,tan∠A=,∴DA==1.2x. ∵CA=30 cm,∴CD+DA=30 cm. ∴x+1.2x=30.∴x=. 在Rt△P5DA中,sin∠A=,∴P5A==2.4x. ∴P5A=2.4×≈24 cm. (3)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=45°.
当P1,P2,P3…P8在斜边上时. ∵∠B=90°-∠A=45°, ∴∠B=∠A,∴AC=BC. 在△P1CA和△P8CB中, ∵∠P1CA=∠P8CB,AC=BC,∠A=∠B, ∴△P1CA≌△P8CB.∴P1A=P8B. 同理可得P2A=P7B,P3A=P6B,P4A=P5B. 则P1P2=P8P7,P2P3=P7P6,P3P4=P6P5. 在P1,P2,P3…P8这些点中,有三对相邻点距离相等. 点评:本题难度较大,主要考查学生结合三角形性质和全等三角形性质等综合探究规律。 |