(1)证明:∵DA=DB, ∴∠DAB=∠DBA. 又∵∠C=∠DBC, ∴∠DBA﹢∠DBC=. ∴AB⊥BC. 又∵AB是的直径, ∴BC是的切线.………………………………………………………3分 (2)解:如图,连接BE, ∵AB是的直径, ∴∠AEB=90°. ∴∠EBC+∠C=90°. ∵∠ABC=90°, ∴∠ABE+∠EBC=90°. ∴∠C=∠ABE. 又∵∠AFE=∠ABE, ∴∠AFE=∠C. ∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC. ∴sin∠AFE=. …………………………………………………………………6分 连接BF, ∴. 在Rt△ABE中,. ……………………………………8分 ∵AF=BF, ∴. …………………………………………………………………9分 (1)欲证BC是⊙O的切线,只需证明∠ABC=90°即可; (2)如图,连接BE,BF,构建Rt△AEB和Rt△AFB.利用圆周角定理(同弧所对的圆周角相等)、等量代换以及切线的性质推知所求的∠F与已知∠C的数量关系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC;然后利用锐角三角函数的定义可以求得sinF的值和AF的长. |