如图,在梯形ABCD中,AD // BC,∠ABC = 90°,AB = 4,AD = 3,BC = 5,点M是边CD的中点,联结AM、BM. 求:(1)△A
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如图,在梯形ABCD中,AD // BC,∠ABC = 90°,AB = 4,AD = 3,BC = 5,点M是边CD的中点,联结AM、BM. 求:(1)△A
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如图,在梯形
ABCD
中,
AD
//
BC
,∠
ABC
= 90°,
AB
= 4,
AD
= 3,
BC
= 5,点
M
是边
CD
的中点,联结
AM
、
BM
.
求:(1)△
ABM
的面积;
(2)∠
MBC
的正弦值.
答案
(1)8(2)
解析
(1)延长AM交BC的延长线于点N,
∵AD∥BC,
∴∠DAM=∠N,∠D=∠MCN,
∵点M是边CD的中点,
∴DM=CM,
∴△ADM≌△NCM(AAS),
∴CN=AD=3,AM=MN=
AN,
∴BN=BC+CN=5+3=8,
∵∠ABC=90°,
∴S
△
ABN
=
×AB•BN=
×4×8=16,
∴S
△
ABM
=
S
△
ABN
=8;
∴△ABM的面积为8;………………………………4分
(2)过点M作MK⊥BC,
∵∠ABC=90°,
∴MK∥AB,
∴△NMK∽△NAB,
∴
,
∴MK=
AB=2,
在Rt△ABN中,AN=
=
=4
,
∴BM=
AN=2
,
在Rt△BKM中,sin∠MBC=
=
.
∴∠MBC的正弦值为
.………………………………4分
(1)首先作辅助线:延长AM交BC的延长线于点N,然后利用梯形的性质,即可证得△ADM≌△NCM(AAS),根据全等三角形的性质,即可求得CN的长,即可求得Rt△ABN的面积,则可求得△ABM的面积;
(2)作辅助线:过点M作MK⊥BC,构造Rt△BKM,即可求得∠MBC的正弦值.
举一反三
已知“6”字形图中,FM是大⊙O的直径, BC与大⊙O相切于B, OB与小⊙O相交于A, AD∥BC,CD∥BH∥FM, DH⊥BH于H,设∠FOB=30°,OB="4," BC=6.
﹙1﹚求证:AD为小⊙O的切线;
﹙2﹚求DH的长.﹙结果保留根号﹚
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生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50° ≤ α ≤ 70° (α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬,现在有长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC . (结果保留两个有效数字,sin70° ≈ 0.94,sin50° ≈ 0.77,cos70° ≈ 0.34 ,cos50° ≈ 0.64 )
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如图所示.P是⊙O外一点.PA是⊙O的切线.点A是切点.B是⊙O上一点.
且PA = PB,连接AO、BO、PO、AB,并延长BO与切线PA相交于点C.
(1)求证:PB是⊙O的切线 ;
(2)求证: AC · PC=" OC" · BC ;
(3)设∠AOC =
,若cos
=
,OC =" 15" ,求AB的长。
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