如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．点A是切点．B是⊙O上一点．且PA = PB，连接AO、BO、PO、AB，并延长BO与切线PA相交于点C．（1）求证

题型：不详难度：来源：

如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．点A是切点．B是⊙O上一点．
且PA = PB，连接AO、BO、PO、AB，并延长BO与切线PA相交于点C．
（1）求证：PB是⊙O的切线 ；
（2）求证： AC · PC=" OC" · BC ； 
（3）设∠AOC =，若cos=，OC =" 15" ，求AB的长。

答案

（1）证明： ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO
∴△APO≌△BPO        ∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB是⊙O的切线
（2）证明：∵∠OAC=∠PBC=90°
∴△CPB∽COA
∴   即AC·PC= OC·BC
（3）解：cos==      ∴AO=12
∵△CPB∽COA     ∠BPC=∠AOC=
∴tan∠BPC==     ∴PB=36   PO=12
∵AB·PO= OB·BP        ∴AB=

解析

（1）连接OP，与AB交于点C．欲证明PB是⊙O的切线，只需证明∠OBP=90°即可；
（2）根据相似三角形的判定定理AA证明△CPB∽△COA，然后由相似三角形的对应边成比例求得，即AC·PC= OC·BC；
（3）在Rt△OAQ中根据勾股定理和三角函数的余弦值的定义解得AO=12，利用△CPB∽COA求出PB=36，OP=12；然后由切线的性质求AB的长．