已知：如图，P是正方形ABCD 内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP。（1）求证：△CPB≌△AEB；（2）求证：PB⊥BE；

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已知：如图，P是正方形ABCD 内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP。

（1）求证：△CPB≌△AEB；
（2）求证：PB⊥BE；
（3）若PA∶PB=1∶2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值。

答案

解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形
∴ BC=AB
∵∠CBP=∠ABE BP=BE
∴△CBP≌△ABE。
（2） 证明：∵∠CBP=∠ABE
∴∠PBE=∠ABE +∠ABP =∠CBP+∠ABP =90°
∴ PB⊥BE。
（3）连结PE
∵ BE=BP，∠PBE=90°
∴∠BPE=45°
设AP为k，则BP=BE=2k
∴PE²=8k²
∴PE=2k
∵∠BPA=135°，∠BPE=45°
∴∠APE=90°
∴AE=3k
在直角△APE中：cos∠PAE=。