如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD。（1）求sin∠DBC的值；（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积。

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD。

（1）求sin∠DBC的值；
（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积。

答案

解：（1）∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵AD∥CB，
∴∠DBC=∠ADB=∠ABD
∵在梯形ABCD中，AB=CD，
∴∠ABD+∠DBC=∠C=2∠DBC，
∵BD⊥CD，
∴3∠DBC=90°，
∴∠DBC=30°，
∴sin∠DBC=

；
（2）过D作DF⊥BC于F，
在Rt△CDB中，BD=BC×cos∠DBC=2

（cm），
在Rt△BDF中，DF=BD×sin∠DBC=

（cm），
∴S_梯=

（2+4）·

（cm²）。

举一反三

我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等。
一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：
（1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D"、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；
（2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）。