试题分析:(1)连结OC,由,根据圆周角定理得∠1=∠2,而∠1=∠OCA,则∠2=∠OCA,则可判断OC∥AD,由于AD⊥CD,所以OC⊥CD,然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线; (2)连结BE交OC于F,由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°,在Rt△ACB中,根据正切的定义得AC=4,再利用勾股定理计算出AB=5,然后证明Rt△ABC∽Rt△ACD,利用相似比先计算出AD=,再计算出CD=;根据垂径定理的推论由得OC⊥BE,BF=EF,于是可判断四边形DEFC为矩形,所以EF=CD=,则BE=2EF=,然后在Rt△ABE中,利用勾股定理计算出AE=,再利用DE=AD﹣AE求解. 试题解析:(1)证明:连结OC,如图,
∵, ∴∠1=∠2, ∵OC=OA, ∴∠1=∠OCA, ∴∠2=∠OCA, ∴OC∥AD, ∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切线; (2)解:连结BE交OC于F,如图, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, 在Rt△ACB中,tan∠CAB=, 而BC=3, ∴AC=4, ∴AB=, ∵∠1=∠2, ∴Rt△ABC∽Rt△ACD, ∴,即,解得, ∵,即,解得, ∵, ∴OC⊥BE,BF=EF, ∴四边形DEFC为矩形, ∴, ∴, ∵AB为直径, ∴∠BEA=90°, 在Rt△ABE中, , ∴. 【考点】切线的判定. |