试题分析:(1)易证∠OCB=∠B,由条件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE,从而得到△COF是等腰三角形,过点F作FH⊥OC,垂足为H,如图1,由等腰三角形的三线合一可求出CH,易证△CHF∽△BCA,从而可求出CF长. (2)题中要求“△OMN与△BCO相似”,并没有指明对应关系,故需分情况讨论,由于∠DOE=∠B,因此△OMN中的点O与△BCO中的点B对应,因而只需分两种情况讨论:①△OMN∽△BCO,②△OMN∽△BOC.当△OMN∽△BCO时,可证到△AOM∽△ACB,从而求出AM长,进而求出CM长;当△OMN∽△BOC时,可证到△CON∽△ACB,从而求出ON,CN长.然后过点M作MG⊥ON,垂足为G,如图3,可以求出NG.并可以证到△MGN∽△ACB,从而求出MN长,进而求出CM长. 试题解析:(1)∵∠ACB=90°,点O是AB的中点, ∴OC=0B=OA=5. ∴∠OCB=∠B,∠ACO=∠A. ∵∠DOE=∠B, ∴∠FOC=∠OCF. ∴FC=FO. ∴△COF是等腰三角形. 过点F作FH⊥OC,垂足为H,如图1,
∵FC=FO,FH⊥OC, ∴CH=OH=,∠CHF=90°. ∵∠HCF=∠B,∠CHF=∠BCA=90°, ∴△CHF∽△BCA. ∴. ∵CH=,AB=10,BC=6, ∴CF=. ∴CF的长为. (2)①若△OMN∽△BCO,如图2,
则有∠NMO=∠OCB. ∵∠OCB=∠B, ∴∠NMO=∠B. ∵∠A=∠A, ∴△AOM∽△ACB. ∴. ∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6, ∴AC=8. ∵AO=5,AC=8,AB=10, ∴AM=. ∴CM=AC-AM=. ②若△OMN∽△BOC,如图3,
则有∠MNO=∠OCB. ∵∠OCB=∠B, ∴∠MNO=∠B. ∵∠ACO=∠A, ∴△CON∽△ACB. ∴. ∵BC=6,AB=10,AC=8,CO=5, ∴ON=,CN=. 过点M作MG⊥ON,垂足为G,如图3, ∵∠MNO=∠B,∠MON=∠B, ∴∠MNO=∠MON. ∴MN=MO. ∵MG⊥ON,即∠MGN=90°, ∴NG=OG=. ∵∠MNG=∠B,∠MGN=∠ACB=90°, ∴△MGN∽△ACB. ∴. ∵GN=,BC=6,AB=10, ∴MN=. ∴CM=CN-MN=-=. ∴当CM的长是或时,△OMN与△BCO相似. 【考点】1.圆的综合题;2.全等三角形的判定与性质;3.直角三角形斜边上的中线;4.勾股定理;5.相似三角形的判定与性质. |