如图,在△ABC中,D是AB边上一点,⊙O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°.(1)求证:直线AC是⊙O的切线;(2)如果∠ACB=75°.①若⊙O
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如图,在△ABC中,D是AB边上一点,⊙O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°.(1)求证:直线AC是⊙O的切线;(2)如果∠ACB=75°.①若⊙O
题型:不详
难度:
来源:
如图,在△ABC中,D是AB边上一点,⊙O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°.
(1)求证:直线AC是⊙O的切线;
(2)如果∠ACB=75°.
①若⊙O的半径为2,求BD的长;
②求CD:BC的值.
答案
(1)证明见解析;(2)①BD=2;②CD:BC的值为
﹣1.
解析
试题分析:(1)由∠DOC=2∠ACD=90°易得∠ACD=45°,而OC=OD,则可判断△OCD为等腰直角三角形,所以∠OCD=45°,则∠OCA=90°,于是可根据切线的判定定理得到直线AC是⊙O的切线;
(2)作DH⊥BC于H.
①先根据等腰直角三角形的性质得CD=
OC=2
,再根据圆周角定理得∠B=
∠COD=∠B=45°,由于∠ACB=75°,∠ACD=45°,所以∠BCD=30°;在Rt△CDH中,根据含30度的直角三角形三边的关系得DH=
DC=
,在Rt△BDH中,根据等腰直角三角形的性质得BD=
DH=2;
②设DH=x,在Rt△CDH中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2DH=2x,CH=
DH=
x;在Rt△BDH中,根据等腰直角三角形的性质得BH=DH=x,则BC=(
+1)x,所以CD:BC=2x:(
+1)x=(
﹣1):1.
试题解析:(1)∵∠DOC=2∠ACD=90°,
∴∠ACD=45°,
∵OC=OD,
∴△OCD为等腰直角三角形,
∴∠OCD=45°,
∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=90°,
∴OC⊥AC,
∴直线AC是⊙O的切线;
(2)作DH⊥BC于H,如图,
①在Rt△OCD中,CD=
OC=2
,
∵∠B=
∠COD,
∴∠B=45°,
∵∠ACB=75°,∠ACD=45°,
∴∠BCD=30°,
在Rt△CDH中,DH=
DC=
,
在Rt△BDH中,BD=
DH=
×
=2;
②设DH=x,
在Rt△CDH中,CD=2DH=2x,CH=
DH=
x,
在Rt△BDH中,BH=DH=x,
∴BC=BH+CH=x+
x=(
+1)x,
∴CD:BC=2x:(
+1)x=(
﹣1):1,即
CD:BC的值为
﹣1.
举一反三
如图, AE是⊙O直径,D是⊙O上一点,连结AD并延长使AD=DC,连结CE交⊙O于点B,连结AB.过点E的直线与AC的延长线交于点F,且∠F=∠CED.
(1)求证:EF是⊙O切线;
(2)若CD=CF=2,求BE的长.
题型:不详
难度:
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已知:如图,PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B,如果∠APB=60°,⊙O半径是3,则劣弧AB的长为( )
A.π
B.
C.2π
D.3π
题型:不详
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如图,在△ABC中,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点D,∠B=60°,∠C=70°,则∠BOD的度数是( )
A.90°
B.100°
C.110°
D.120°
题型:不详
难度:
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如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的顶点A、C分别在Y轴,X轴上,以AB为弦的⊙M与X轴相切,若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为( )
A.(4,-5) B.(5,-4) C.(-5,4) D.(-4,5)
题型:不详
难度:
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如图,已知A、B、C分别是⊙O上的点,∠B=60°,P是直径CD的延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:AP与⊙O相切;
(2)如果AC=3,求PD的长.
题型:不详
难度:
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