如图,在中,以为直径的交于点,点为的中点,连结交于点,且.(1)判断直线与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)若的半径为2,,求的长.

如图,在中,以为直径的交于点,点为的中点,连结交于点,且.(1)判断直线与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)若的半径为2,,求的长.

题型:不详难度:来源:
如图,在中,以为直径的于点,点的中点,连结于点,且.

(1)判断直线与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若的半径为2,,求的长.
答案
(1)BC与⊙O相切,证明见解析;(2).
解析

试题分析:(1)连接AE,求出∠EAD+∠AFE=90°,推出∠BCE=∠BFC,∠EAD=∠ACE,求出∠BCE+∠ACE=90°,根据切线的判定推出即可.
(2)根据AC=4,cosB=求出BC=3,AB=5,BF=3,AF=2,根据∠EAD=∠ACE,∠E=∠E证△AEF∽△CEA,推出EC=2EA,设EA=x,EC=2x,由勾股定理得出x2+4x2=16,求出即可.
试题解析:(1)BC与⊙O相切
证明:连接AE,

∵AC是⊙O的直径
∴∠E=90°,
∴∠EAD+∠AFE=90°,
∵BF=BC,
∴∠BCE=∠BFC,
∵E为弧AD中点,
∴∠EAD=∠ACE,
∴∠BCE+∠ACE=90°,
∴AC⊥BC,
∵AC为直径,
∴BC是⊙O的切线.
(2)∵⊙O的半为
∴AC=4,
∵cosB=
∴BC=3,AB=5,
∴BF=3,AF=5-3=2,
∵∠EAD=∠ACE,∠E=∠E,
∴△AEF∽△CEA,

∴EC=2EA,
设EA=x,EC=2x,
由勾股定理得:x2+4x2=16,
x=(负数舍去),
即CE=
考点: 1.切线的判定;2.勾股定理;3.相似三角形的判定与性质.
举一反三
如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠ABO=50°,则∠ACB的大小为(  )
A.40°B.30°C.50°D.60°

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图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为(  )
A.12πmB.18πmC.20πmD.24πm

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已知一个圆锥的母线长为2cm,它的侧面展开图恰好是一个半圆,则这个圆锥的侧面积等于       cm2(用含π的式子表示).
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如图,小方格都是边长为1的正方形,则以格点为圆心,半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为          

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如图,直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,D是⊙O上一点,且∠EDC=30°,弦EF∥AB,则EF的长度为(  )
A.2B.2C.D.2

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