如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交

题型：不详难度：来源：

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．
（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，

①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．

答案

(1)①（）,②AP=;(2)AP的长为或．

解析

试题分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由对顶角相等得∠PDA=∠CDE，则∠PAD=∠CDE，根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，则∠ABC=∠DEC，BC:CE＝DE:AB，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5，则PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式；
②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-x+4（圆心距），BQ=-x+3（⊙Q的半径），根据两圆外切的性质得到-x+4=x+(-x+3），然后解方程即可；
（2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-x+4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，根据勾股定理得CI²=CQ²+IQ²=（x）²+（-x+4）²=x²-x+16，再由CI=AP得到x²-x+16=x²，解得x₁=，x₂=4，由于0＜x＜，由此得到AP的长为;同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=x²-x+16，利用CI=AP得到x²-
x+16=x²，解得x₁=，x₂=4，由于＜x＜5，则AP的长为4，由此得到AP的长为或4．
试题解析：
解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．
∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．
又AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x，
∴
∴（）．
②设BE的中点为Q，联结PQ．
∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC，
∴，∴，
∴，．
当以BE为直径的圆和⊙P外切时， ．
解得，即AP的长为．
（2）如果点E在线段BC延长线上时，
由（1）②的结论可知，
．
在Rt△CQI中，
．
∵CI=AP，∴，
解得，（不合题意，舍去）．
∴AP的长为．
同理，如果点E在线段BC上时，
，
．
在Rt△CQI中，．
∵CI=AP，
∴，解得（不合题意，舍去），．
∴AP的长为4．
综上所述，AP的长为或．