如图,△ABC内接于半圆,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.(1)求证:MN是半圆的切线.(2)设D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作

如图,△ABC内接于半圆,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.(1)求证:MN是半圆的切线.(2)设D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作

题型:不详难度:来源:
如图,△ABC内接于半圆,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.

(1)求证:MN是半圆的切线.
(2)设D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F,求证:FD=FG.
答案
(1)证明见解析;(2)证明见解析.
解析

试题分析:(1)根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°,即∠ABC+∠CAB=90°,而∠MAC=∠ABC,则∠MAC+∠BCA=90°,即∠MAB=90°,根据切线的判定即可得到结论;
(2)连AD,根据圆周角定理推论得到∠ABC=90°,由DE⊥AB得到∠DEB=90°,则∠1+∠5=90°,∠3+∠4=90°,又D是弧AC的中点,即弧CD=弧DA,得到∠3=∠5,于是∠1=∠4,利用对顶角相等易得∠1=∠2,则有FD=FG.
试题解析:(1)证明:∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠CAB=90°,
而∠MAC=∠ABC,
∴∠MAC+∠BCA=90°,即∠MAB=90°,
∴MN是半圆的切线;
(2)解:如图

∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
而DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠1+∠5=90°,∠3+∠4=90°,
∵D是弧AC的中点,即弧CD=弧DA,
∴∠3=∠5,
∴∠1=∠4,
而∠2=∠4,
∴∠1=∠2,
∴FD=FG.
考点: 1.切线的判定;2.圆周角定理.
举一反三
在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4),直线CM∥x轴(如图所示).点B与点A关于原点对称,直线y=x+b(b为常数)经过点B,且与直线CM相交于点D,连接OD.

(1)求b的值和点D的坐标;
(2)设点P在x轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,如果以PD为半径的圆P与圆O外切,求圆O的半径.
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已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,则它的侧面积为( )
A.4πB.16π C.4πD.8π

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已知⊙O的半径是5,直线l是⊙O的切线,P是l上的任一点,那么( )
A.0<OP<5B.OP=5C.OP>5D.OP≥5

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已知⊙O的半径是3,OP=3,那么点P和⊙O的位置关系是(   )
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定

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如图1,在⊙O中,弦AC和BD相交于点E,,若∠BEC=110°,则∠BDC(   )
A.35°B.45°C.55°D.70°

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