如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若

如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若

题型:不详难度:来源:
如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.

(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若CD=2AD,⊙O的直径为10,求线段AC的长.
答案
(1)证明见解析;(2)6.
解析

试题分析:(1)要证CD为⊙O的切线,只要证CD垂直于对切点的半径,故作辅助线:连接OC,由三角形三个内角和为180°的性质和等腰三角形的判定和性质,即能证出∠DCO =90°,从而得证;
(2)要求AB的长,就要考虑它是三角形中的线段或与三角形中的线段有关系,根据垂径定理,只要作OF⊥AB,即有AB=2AF,故只要求出AF即可,由勾股定理和等量代换即可求得.
试题解析:(1)如图,连接OC,
∵点C在⊙O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.
∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.
∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO.
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC="90°."
又∵点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,∴CD为⊙O的切线.
(2)如图,过O作OF⊥AB,垂足为F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°.
∴四边形OCDF为矩形,∴OC=FD,OF=CD.
∵CD=2AD,设AD=x,则OF=CD=2x,
∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x.
在Rt△AOF中,由勾股定理得.
,化简得:,解得(舍去).
∴AD="2," AF=5-2=3.
∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6.

举一反三
当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位:cm),那么该圆的半径为(     )
A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

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如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OBC=30°,则∠BAC的度数为__________。

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工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为            mm。

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等边△ABC内接于⊙O,AB=10cm,则⊙O 的半径是_____________cm。
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如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为多少?
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