试题分析:(1)要证CD为⊙O的切线,只要证CD垂直于对切点的半径,故作辅助线:连接OC,由三角形三个内角和为180°的性质和等腰三角形的判定和性质,即能证出∠DCO =90°,从而得证; (2)要求AB的长,就要考虑它是三角形中的线段或与三角形中的线段有关系,根据垂径定理,只要作OF⊥AB,即有AB=2AF,故只要求出AF即可,由勾股定理和等量代换即可求得. 试题解析:(1)如图,连接OC, ∵点C在⊙O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC. ∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°. ∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO. ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC="90°." 又∵点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,∴CD为⊙O的切线. (2)如图,过O作OF⊥AB,垂足为F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°. ∴四边形OCDF为矩形,∴OC=FD,OF=CD. ∵CD=2AD,设AD=x,则OF=CD=2x, ∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x. 在Rt△AOF中,由勾股定理得. 即,化简得:,解得或(舍去). ∴AD="2," AF=5-2=3. ∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6.
|